、ウ、ホ・レ。シ・ク、、マ、ニ、ハ・ヨ・テ・ッ・゙。シ・ッ、ヒトノイテ、ウ、ホ・レ。シ・ク、エ゙、爨マ、ニ、ハ・ヨ・テ・ッ・゙。シ・ッ 、ウ、ホ・レ。シ・ク、livedoor ・ッ・・テ・ラ、ヒトノイテ、ウ、ホ・レ。シ・ク、エ゙、瀝ivedoor ・ッ・・テ・ラ

フワシ。

・ャ・ヲ・ケ、ホマツ

。。(\frac{a}{b})、ャ・・ク・罕・ノ・オュケ讀ーユフ」、ケ、、ホ、ォ。「テア、ヒハャソ、ーユフ」、ケ、、ホ、カ靆フ、ケ、、ソ、皃ヒ。「・・ク・罕・ノ・オュケ讀シ。、ホオュケ讀ヒテヨ、ュエケ、ィ、。」

[トオチ][a]~\in~Z_p^{*}=\{~[a_1],[a_2],~\cdots,~[a_{p-1}]\}、ヒツミ、キ、ニ。「シ。、ホ、隍ヲ、ヒトオチ、ケ、。」
\lambda_p([a])~:=~(\frac{a}{p})

・・ク・罕・ノ・オュケ讀ホトオチ、隍遙「シ。、ャタョ、ホゥ、ト、ウ、ネ、マフタ、鬢ォ、ヌ、「、。」

[トヘ]
[1] [a]~\in~(Z_p^{*})^2、ホ、ネ、ュ。「ツィ、チa~\in~QR_p、ホ、ネ、ュ。「\lambda_p([a])~=~1
[2] [a]~\not{\in}~(Z_p^{*})^2、ホ、ネ、ュ。「ツィ、チa~\in~QNR_p、ホ、ネ、ュ。「\lambda_p([a])~=~-1

。。、ウ、ウ、ヌ。「(Z_p^{*})^2~:=~\{~x^2~|~x~\in~Z_p^*\}。「a~\not{\in}~A、マ。ヨスクケ蹉、マクオa、エ゙、゙、ハ、、。ラ、ーユフ」、ケ、。」

。。、ウ、ホ、ネ、ュ。「・ャ・ヲ・ケ、ホマツ、ヌ、「、S、シ。、ホ、隍ヲ、ヒトオチ、ケ、。」

[トオチ]・ャ・ヲ・ケ、ホマツ
S~:=~\sum_{k=1}^{p-1}~\lambda_p([a_k})~\zeta^{a_k}
、ウ、ウ、ヌ。「ヲニ、マ1、ホクカサマnセ霄ャ、ネ、ケ、。ハ、ソ、タ、キ。「n=p、ケ、。ヒ。」

[ホ緇カツホナェ、ハソテヘホ网ネ、キ、ニ。「p=7、ホセケ遉ホ・ャ・ヲ・ケ、ホマツ、トエ、ル、ニ、゚、。」

S
=~\sum_{k}^6~\lambda_7([a_k])~\zeta^{a_k}
=~\lambda_7([1])~\zeta^{1}~+~\lambda_7([2])~\zeta^{2}~+~\lambda_7([3])~\zeta^{3}~+~\lambda_7([4])~\zeta^{4}~+~\lambda_7([5])~\zeta^{5}~+~\lambda_7([6])~\zeta^{6}
=~1~\cdot~\zeta^{1}~+~1~\cdot~\zeta^{2}~+~(-1)~\cdot~\zeta^{3}~+~1~\cdot~\zeta^{4}~+~(-1)~\cdot~\zeta^{5}~+~(-1)~\cdot~\zeta^{6}。。。ハ「QR_7=\{1,2,4\},QNR_7=\{3,5,6\}。ヒ。。。

[トヘ]
S
=\sum_{k=1}^{p-1}~\lambda_p([a_k])~\zeta^{a_k}
=\sum_{k=1}^{p-1}~\lambda_p([k])~\zeta^{k}
=\sum_{h=1}^{p-1}~\lambda_p([kh])~\zeta^{kh}

。。コヌク螟ホシーハムキチ、ヌヲイ、ホナコ、ィサ、ャk、ォ、馼、ヒハム、、テ、ニ、、、、ウ、ネ、ヒテーユ。」

[セレフタ]

S
=\sum_{k=1}^{p-1}~\lambda_p([a_k])~\zeta^{a_k}。。。ハ「隘ャ・ヲ・ケ、ホマツ、ホトオチ。ヒ
=\sum_{k=1}^{p-1}~\lambda_p([k])~\zeta^{k}。。。ハ「Z_p^*=\{[a_1],\cdots,[a_{p-1}]\}、マZ_p^*=\{[1],~\cdots,~[p-1]\}、ネテヨ、ュエケ、ィ、鬢、。ヒ
=\sum_{h=1}^{p-1}~\lambda_p([kh])~\zeta^{kh}。。。ハ「p~\not{|}~k、ネ、ケ、、ネ。「[k]~\in~Z_p^*、ヌ、「、遙「Z_p^*~=~\{~[k],\cdots,[(p-1)k]~\}、ャタョ、ホゥ、ト。ヒ「「

・ャ・ヲ・ケ、ホマツ、ホタュシチ

。。・ャ・ヲ・ケ、ホマツ、ホトオチ、マークォハ」サィ、ス、ヲ、ヒクォ、ィ、、ャ。「2セ隍ケ、、ネ、ネ、ニ、筵キ・・ラ・、ハキチ、ヒ、ハ、。」

[トヘ]S^2~=~p~\cdot~(-1)^{\frac{p-1}{2}}

[セレフタ]、ウ、ウ、ヌ\lambda_p(0):=0、ネ、ケ、。」、ウ、、マ・・ク・罕・ノ・オュケ讀ヌケヘ、ィ、ニ、篶キス筅キ、ハ、、、ォ、鯲萃熙ハ、、。」

。。、ケ、、ネ。「S、マシ。、ホ、隍ヲ、ヒス、ア、。ハヲイ、ホサマナタ、ヒテフワ。ヒ。」

S~=~\sum_{k=0}^{p-1}~\lambda_p([k])~\zeta^k。。「ォ(*1)

。。(*1)、隍遙「S2、マシ。、ホ、隍ヲ、ヒス、ア、。」

S^2
=~(\sum_{k=0}^{p-1}~\lambda_p([k])~\zeta^k)S
=~\sum_{k=0}^{p-1}~(\lambda_p([k])S~\zeta^k)。。「ォ(*2)

。。、ウ、ウ、ヌ。「ヲイ、ャアニカチ、ケ、ウ邵フニ筅ヒテフワ、ケ、。」

\lambda_p([k])S~\zeta^k
=~\lambda_p([k])~(\sum_{h=0}^{p-1}~\lambda_p[kh]~\zeta^{kh})~\zeta^k。。。ハ「陦ヨS=\sum_{h=1}^{p-1}~\lambda_p([kh])~\zeta^{kh}。ラ、ネ\lambda_p(0):=0、隍遙「。ヨS=\sum_{h=0}^{p-1}~\lambda_p([kh])~\zeta^{kh}。ラ、ニタ、。ヒ
=~sum_{h=0}^{p-1}~\lambda_p([k])~\lambda([kh])~\zeta^{(h+1)k}。。「ォ(*3)

。。、オ、鬢ヒ。「\lambda_p([k])~\lambda_p([kh])、ヒテフワ、ケ、、ネ。「シ。、ホ、隍ヲ、ヒハムキチ、ヌ、ュ、。」

\lambda_p([k])~\lambda_p([kh])
=~\lambda_p([k][kh])。。。ハ「隕ヒp、マキイ、ホス猗アキソシフチ、ヌ、「、、ォ、鬘ヒ
=~\lambda_p([k]^2~\cdot~[h])
=~\lambda_p([k]^2)~\lambda_p([h])
=~1~\cdot~\lambda_p([h])
=~\lambda_p([h])

。。、隍テ、ニ。「(*3)、マ\sum_{h=0}^{p-1}~\lambda_p([h])~\zeta^{(h+1)k)、ネス、ア、。」

。。、ウ、ホ、ウ、ネ、隍遙「(*2)、マシ。、ホ、隍ヲ、ヒス、ア、。」

(*2)
=~\sum_{k=0}^{p-1}~(\lambda_p([k])S~\zeta^k)
=~\sum_{k=0}^{p-1}~\sum_{h=0}^{p-1}~\lambda_p([h])~\zeta^{(h+1)k}
=~\sum_{h=0}^{p-1}~\lambda_p([h])~(\sum_{k=0}^{p-1}~\zeta^{(h+1)k})
=~\sum_{h=0}^{p-1}~\lambda_p([h])~\cdot~p。。。ハh=p-1、ホ、ネ、ュ。ヒ。「0。。。ハ0。乕。縣-1、ホ、ネ、ュ。ヒ。。。ハ「陲0。乕。蚪-1n、ハ、鬢ミ1。乕+1。蚪、隍遙「\sum_{k=0}^{p-1}\zeta^{(h+1)k}=p 。ハh=p-1、ホ、ネ、ュ。ヒor 0。ハ。乕。縣-1、ホ、ネ、ュ。ヒ。ヒ
=~\sum_{h=0}^{p-1}~\lambda_p([p-1])~\cdot~p。。。ハh=p-1、ホ、ネ、ュ。ヒ。「0。。。ハ0。乕。縣-1、ホ、ネ、ュ。ヒ
=~\lambda_p([p-1])~\cdot~p
=~\lambda_p([-1])~\cdot~p。。。ハ「鑵-1「-1 (mod p)。ヒ
=~\lambda_p(-1)~\cdot~p。。。ハ「鐚-1]=-[1]=-1。ヒ
=~p~\cdot~\lambda_p(-1)。。。ハ「雕エケホァ。ヒ
=~p~\cdot~(-1)^{\frac{p-1}{2}}。。。ハ「霙1ハ菴シヒ。ツァ、隍遙「(\frac{-1}{p})~=~(-1)^{\frac{p-1}{2}}。。「「

。。、ウ、ホトヘ、ォ、鮠。、ホキマ、ャ、ケ、ー、ヒタョ、ホゥ、ト。」

。。、ウ、ウ、ヌツ1ハ菴シヒ。ツァ、隍(-1)^{\frac{p-1}{2}}、マターソ、ハ、ホ、ヌ。「S2、マターソ、ヌ、「、。」、゙、ソ。「トヘ、ホキイフ、ホホセハユ、ヒ(-1)^{\frac{p-1}{2}}、、ォ、ア、、ネ。「S2、オ、ィ、篝テ、ィ、ニ、キ、゙、ヲ。」

[キマ]S2。ァターソ

[セレフタ]ツ1ハ菴シヒ。ツァ、隍(-1)^{\frac{p-1}{2}}、マターソ、ハ、ホ、ヌ。「S2、マターソ、ヌ、「、。」。。「「

[キマ]p~=~S^2~\cdot~(-1)^{\frac{p-1}{2}}

[トヘ]S^2~=~p~\cdot~(-1)^{\frac{p-1}{2}}、ホホセハユ、ヒ(-1)^{\frac{p-1}{2}}、、ォ、ア、、ネ。「シ。、ャタョ、ホゥ、ト。」

S^2~\cdot~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~=~p~\cdot~(-1)^{p-1}

p、マチヌソ、ハ、ホ、ヌ。「p-1、マカソ。」

、隍テ、ニ。「-1、カソセ隍ケ、、ネ1、ヌ、「、。」。。「「

・ャ・ヲ・ケ、ホマツ、ネハソハセヘセ、ホチク゚ヒ。ツァ

。。、オ、鬢ヒ。「・ャ・ヲ・ケ、ホマツ、ネ・・ク・罕・ノ・、ホオュケ讀ャトセタワエリキク、ケ、シ。、ホタュシチ、ャタョ、ホゥ、ト。」
。。ケ酥アシー、ヌ、「、、ウ、ネ、ヒテーユ、キ、ニペ、キ、、。」

[トヘ](\frac{p}{q})~\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}~\frac{q-1}{2}}~\cdot~S^{q-1}~\,~\pmod{q}

[セレフタ]p、(q-1)/2セ隍キ、ソキイフ、マ。「シーハムキチ、キ、ニ、、、ッ、ネシ。、ホ、隍ヲ、ヒ、ハ、。」

p^{\frac{q-1}{2}}
=~(S^2~\cdot~(-1)^{\frac{p-1}{2}})^{\frac{q-1}{2}}。。。ハ「鐚キマ]。ヨp~=~S^2~\cdot~(-1)^{\frac{p-1}{2}}。ラ。ヒ
=~(-1)^{\frac{p-1}{2}~\frac{q-1}{2}}~\cdot~S^{q-1}。。「ォ(*)

q、マエソ、ハ、鬢ミ。「q-1、マカソ、ヌ、「、。」
q-1=2k、ネ、ケ、、ミ。「Sq-1=(S2)k=(ターソ)k=ターソ、ヌ、「、。」

、隍テ、ニ。「(p/q)、マシ。、ホ、隍ヲ、ヒハムキチ、ヌ、ュ、。」

(\frac{p}{q})
\equiv~p^{\frac{q-1}{2}}~\,~\pmod{q}。。。ハ「隘ェ・、・鬘シオャス爍ヒ \equiv~~(-1)^{\frac{p-1}{2}~\frac{q-1}{2}}~\cdot~S^{q-1}~\,~\pmod{q}。。。ハ「(*)。ヒ。。「「

。。、ウ、ウ、ヌ、ホフワノク、マハソハセヘセ、ホチク゚ヒ。ツァ、ャタョ、ホゥ、ト、ウ、ネ、シィ、ケ、ウ、ネ、ハ、ホ、ヌ。「セ蠏ュ、ホトヘ、ネ。ハケ酥アシーネヌ、ホ。ヒハソハセヘセ、ホチク゚ヒ。ツァ、ネ豕モ、ケ、、ネ。「シ。、ホフソツ熙ャタョ、ホゥ、ト、ウ、ネ、ャシィ、オ、、、ミ、隍、。」シツコン、ヒ、ウ、ホフソツ熙ャタョ、ホゥ、ト、ウ、ネ、セレフタ、ケ、。」

[トヘ]S^{q-1}~\equiv~(\frac{q}{p})~\,~\pmod{q}

[セレフタ]アヲハユ、ホ・・ク・罕・ノ・オュケ讀マシフチヲヒp、サネ、テ、ニス、ュトセ、ケ、ネ。「シ。、ホ、隍ヲ、ヒ、ハ、。」

S^{q-1}~\equiv~\lambda_p([q])~\,~\pmod{q}

、ウ、ウ、ヌ。「a_k~:=~\lambda_p([k])~\zeta^k、ネ、ェ、ッ。」、ソ、タ、キ。「a0=0、ネ、ケ、。ハフキス筅キ、ハ、、。ヒ。」
、ケ、、ネ・ャ・ヲ・ケ、ホマツ、ホトオチ、隍遙「S=\sum_{k=0}^{p-1}~a_k、ャタョ、ホゥ、ト。」

、゙、ソ。「(X_1~+~\cdots~+~X_n)^p~-~(X_1^p~+~\cdots~+~X_n^p)=p~\cdot~F_n(X_1,~\cdots,~X_n)、ャタョ、ホゥ、ト、ウ、ネ、ャテホ、鬢、ニ、、、。」
、ウ、ホシー、ヒ、ェ、、、ニp=q,n=p、ネ、キ。「ハクサXi、ヒai-1、ツ衄、ケ、、ネシ。、ャタョ、ホゥ、ト。」

(a_0~+~\cdots~+~a_{p-1})^q~-~(a_0^q~+~\cdots~+~a_{p-1}^q)~=~q~\cdot~F_p(a_0,~\cdots,~a_{p-1})。。「ォ(*1)

。ハコクハユ、ホツ1ケ爍ヒ
=~(a_0~+~\cdots~+~a_{p-1})^q
=~S^q。。。ハ「S=\sum_{k=0}^{p-1}~a_k。ヒ

。ハコクハユ、ホツ2ケ爍ヒ
=~(a_0^q~+~\cdots~+~a_{p-1}^q)
=~\sum_{k=0}^{p-1}~a_k^q。。「ォ(*2)

、ネ、ウ、、ヌ。「F_p(a_0,~\cdots,~a_{p-1})~\in~\mathbb{Z}[\zeta]、ャタョ、ホゥ、ト。」
、ウ、ホヘヘウ、マシ。、ホトフ、熙ヌ、「、。」b_k~:=~\lambda_p([k])、ネ、ェ、ッ、ネ。「ハ」チヌソak、マツソケ狆ーbkXk、ホハクサX、ヒヲニ、ツ衄、キ、ソテヘ、ヌ、「、。」
、ス、ウ、ヌ。「ツソケ狆ーg=Z[X]、。「g:=~F_p(b_0,~b_1X,~\cdot,~b_{p-1}~X^{p-1})、ネ、ケ、、ミ。「F_p(a_0,~\cdots,~a_{p-1})、マハクサX、ヒヲニ、ニ、、ソテヘ。「ツィ、チg(ヲニ)、ネーテラ、ケ、。」、ト、゙、遙「F_p(a_0,~\cdots,~a_{p-1})~=~g(\zeta)~\in~\mathbb{Z}[\zeta]、ヌ、「、。」

ーハ。「(*2)、ホヲイ、ホテ讀マa_k^q、マシ。、ホ、隍ヲ、ヒナクウォ、ヌ、ュ、。」

a_k^q
=~\lambda_p([k])^q~\cdot~\zeta^{kq}
=~\lambda_p([k])~\cdot~\zeta^{kq}。。。ハ「隕ヒp([k])=。゙1「ハq。ァエソ。ヒ
=~\lambda_p([kq])\lambda([q])~\cdot~\zeta^{kq}。。。ハ「隕ヒp、ホス猗アキソタュ「ハヲヒp([q]2)=1。ヒ

、隍テ、ニ。「(*2)、マシ。、ホ、隍ヲ、ヒナクウォ、ヌ、ュ、。」

(*2)
=~\sum_{k=0}^{p-1}~a_k^q
=~\sum_{k=0}^{p-1}~\lambda_p([kq])~\lambda_p([q])~\cdot~\zeta^{kq}
=~\lambda_p([q])~\sum_{k=0}^{p-1}~\lambda_p([kq])~\cdot~\zeta^{kq}
=~\lambda_p([q])~S。。。ハ「鏨、ホトオチ。ヒ

、隍テ、ニ。「(*1)、ネネ讀ル、ニシ。、ャタョ、ホゥ、ト。」

S^q~-~\lambda_p([q])S~=~q~\cdot~F_p(a_0,~\cdots,~a_{p-1})
S^{q+1}~-~\lambda_p([q])S^2~=~q~\cdot~F_p(a_0,~\cdots,~a_{p-1})~\cdot~S。。。ハ「靜セハユ、ヒS、、ォ、ア、ソ。ヒ
\frac{S^{q+1}~-~\lambda_p([q])S^2}{q}~=~~F_p(a_0,~\cdots,~a_{p-1})~\cdot~S。。。ハ「靜セハユ、ォ、駲、ウ荀テ、ソ。ヒ。。「ォ(*3)

、ウ、ウ、ヌ。「S2。ァターソ「ハq+1。ァカソ、隍遙「Sq+1。ァターソ、ヌ、「、。」、ト、゙、遙「(*3)、ホコクハユ、ホハャサメ、マターソ、ヌ、「、。」
、隍テ、ニ。「(3)、ホコクハユ、マヘュヘソ、ヌ、「、。」

S、ネF_p(a_0,\cdots,a_{p-1})、マ、ノ、チ、鬢箒トZ[ヲニ]、ホクオ、ハ、ホ、ヌ。「セ霆サ、キ、ソキイフ、ヌ、「、(*3)、ホアヲハユ、マZ[ヲニ]、ホクオ、ヌ、「、。ハア鮟サ、マハト、ク、ニ、、、、ォ、鬘ヒ。」、隍テ、ニ。「(*3)、ホコクハユ、簑ーソ、ホ、マ、コ、ヌ、「、。」、ハ、シ、ハ、鬢ミ。「。ヨエトZ[ヲニ]、ヒエ゙、゙、、ヘュヘソ、マターソ、ヌ、「、。ラ。ハZ=Q「チZ[ヲニ]。ヒ、ャタョ、ホゥ、ト、ウ、ネ、ャテホ、鬢、ニ、、、、ォ、鬢ヌ、「、。」
(*3)、ホコクハユ、ターソt、ネ、ケ、、ネ。「。ハハャサメ。ヒ=S^{q+1}~-~\lambda_p([q])S^2~=~t~\cdot~q、ヒ、ハ、。」

S^{q+1}~-~\lambda_p([q])~S^2~=~t~\cdot~q
S^2~\{~S^{q-1}~-~\lambda_p([q])~\}~=~t~\cdot~q

S^2~=~\lambda_p(-1)~\cdot~p~=~(0~\,~or~\,~1~\,~or~\,~-1)\cdot~p。癸ハp、ホヌワソ。ヒ、隍遙「(q,S2)=1、ヌ、「、。」

、ウ、ホ、ウ、ネ、隍遙「q|S^{q-1}~-~\lambda_p([q])、ャタョ、ホゥ、ト。」

、隍テ、ニ。「S^{q-1}~-~\lambda_p([q])~\equiv~0~\,~\pmod{q}、ヌ、「、。」。。「「

。。ーハセ螟ホ2、ト、ホトヘ、ヒ、隍遙「シ。、ホトヘ、ャトセ、チ、ヒニタ、鬢、。」

[トヘ](\frac{p}{q})~\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}~\frac{q-1}{2}}~\cdot~(\frac{q}{p})~\,~\pmod{q}

。。、オ、鬢ヒ。「ケ酥アシー、ホホセハユ、マ、、、コ、、筍゙1、ハ、ホ、ヌ。「ナケ讀ャタョホゥ、ケ、。」、ト、゙、遙「ハソハセヘセ、ホチク゚ヒ。ツァ、ャタョ、ホゥ、ト、ウ、ネ、ャ、、ォ、テ、ソ。」