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目次

ハイゼンベルグの不確定性関係

 任意の2つの物理量A,Bを表す演算子\hat{A},\hat{B}について考える。

 このとき、分散と演算子\hat{A},\hat{B}の交換関係には次のような不等式が成り立つ。

\(~\Delta~A\)^2~\(~\Delta~B\)^2~\ge~\frac{1}{4}~|\<~\Psi~|~\[~\hat{A},\hat{B}~\]|~\Psi~\>|^2

 ここで、座標xと運動量pxの関係を調べてみる。座標xと運動量pxの交換関係\[~x,\hat{p_{x}}~\]~=~i~\hbarを、不等式の右辺に入れると次のようになる。

\(~\Delta~x\)^2~\(~\Delta~p_{x}\)^2
\ge~\frac{1}{4}~|\<~\Psi~|~i~\hbar|~\Psi~\>|^2
=\frac{\hbar^2}{4}~|\<~\Psi~|~\Psi~\>|^2 (∵エイチバーは数値なので積分(ブランケット)の外に出せる)
=\frac{\hbar^2}{4}

 ΔxとΔpxが正であるとすると、次のようになる。

\(~\Delta~x\)^2~\(~\Delta~p_{x}\)^2~\ge~\frac{1}{2}~\hbar

 このときどちらかの量を正確に測ると、もう一方の量の不確かさは無限に大きくなる。例えばΔxをゼロに近づけると、分散は無限に大きくなる。

 この関係はハイゼンベルグの不確定性原理と呼ばれる。この関係は時間tとエネルギーEの間にも成り立つ。

演算子の性質と確定性・不確定性の関係

 交換関係として次が成り立つとする。

\hat{A}\hat{B}~-~\hat{B}\hat{A}~=~0

 このとき\Delta~A~\Delta~B~\ge~0なので、上記の関係と比べるとΔAをゼロに近づけると同時にΔBもゼロに近づけられる。ゆえに両方の量を同時に正確に測れるわけである。

 まとめると次のようになる。

 次に交換関係が成り立たないときを考える。これは上記に示したハイゼンベルグの不確定性関係の話になる。両方の量を同時に正確に測れないわけである。

  • 可換な演算子
    • 両方の物理量を同時に正確に測定できる。
  • 非可換な演算子
    • 対応する物理量を同時に正確に測定できない。

ハイゼンベルグの不確定性関係 vs ニュートン力学

  • ハイゼンベルグの不確定性関係
    • 位置と運動量や時間とエネルギーは同時に正確に測定できない。
  • ニュートン力学
    • 位置と運動量の両方の情報がないと物体の運動は正確に計算できない。

 そのためハイゼンベルグの不確定性原理に反対した者もいた。

  • アインシュタイン
    • 統計力学は支持していたが、個々の原子や分子の不確定性が本質的というのには反対した。
    • 「神がサイコロを振るはずはない」という言葉は有名である。
    • アインシュタインは不確定性の影響を受けないと思われる実験を色々提案して、ボーアやハイゼンベルグを苦しめた。

参考文献

  • 『高校数学でわかるシュレーディンガー方程式』