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目次

ピタゴラスの定理

[定理]ピタゴラスの定理(幾何版)
直角三角形において、直角に対する辺の上の正方形は、直角を挟む2辺の上の正方形の和に等しい。

 これはユークリッドの『原論』第1巻の命題47である。

[補講]直角三角形の辺の長さになるような自然数の組はピタゴラス数と呼ぶ。 ◇

 この定理の逆は、『原論』第1巻の命題48で次のように述べられている。

[定理]ピタゴラスの定理の逆
三角形の1辺の上の正方形が、他の2辺の上の正方形の和に等しいならば、後の2辺の挟む角は直角である。

ピタゴラスの定理の証明

  • ピタゴラス自身による証明は記録がなくて定かではない。

[証明](ユークリッドの言論の第1巻の命題47の証明)

上記の図において、「□BCEDの面積=□ABFGの面積+□ACKHの面積」を示すことができればよい。

△CBFはBFを底辺にすれば、高さはABに等しいから、△CBFの面積は□ABFGの面積の半分である。

△DBAはBDを底辺とすれば、高さはDLに等しいから、△DBAの面積は□BCEDの面積の半分である。

また、△CBFの2辺CBとBF、およびその挟角は、△DBAの2辺DBとBA、およびその挟角とそれぞれ等しいので、△CBFと△DBAは合同である。

□ABFGと□BLは互いに合同な三角形の2倍の面積を持ち、面積は一致する。

同様にして、□ACKHと□CLの面積は一致する。

ゆえに、題意が成り立つ。 □

参考文献

  • 『なっとくするオイラーとフェルマー』