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誊肌 †

誊肌
はじめに
フェルマ〖の井年妄
フェルマ〖の井年妄を脱いてべき捐纷换
フェルマ〖の井年妄の橙磨
徊雇矢弗

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はじめに †

　毋えばp=7∈燎眶∷として、a=1からp-1までの腊眶について、mod pでべき捐∈部搀も票じ眶猛で齿け换していくこと∷して、囱弧してみる。その冯蔡を山にまとめると肌のようになる。

a	1	2	3	4	5	6
a1	1	2	3	4	5	6
a2	1	4	2	2	4	1
a3	1	1	6	1	6	6
a4	1	2	4	4	2	1
a5	1	4	5	2	3	6
a6	1	1	1	1	1	1
a7	1	2	3	4	5	6

　まず、山の斧数を棱汤する。
　1乖誊はaの1×6∈=p-1=7-1∷の猛になり、侥にその猛をどんどん齿けていくことになる。あくまでmod 7で雇えていくので、すべての眶猛は6笆布の猛になっている。
　a6∈p-1捐∷の乖でaの猛に嘎らず、すべてが1になっていることに庙誊して瓦しい。

　肌に、pが圭喇眶のときを雇えてみる。pといったら舍奶燎眶∈prime∷を罢蹋してしまうので、ここでは圭喇眶であることを罢蹋するためにhとしておいた。毋えば、圭喇眶h=8として、mod hでべき捐して、囱弧してみる。

a	1	2	3	4	5	6	7
a1	1	2	3	4	5	6	7
a2	1	4	1	0	1	4	1
a3	1	0	3	0	5	0	7
a4	1	0	1	0	1	0	1
a5	1	0	3	0	5	0	7
a6	1	0	1	0	1	0	1
a7	1	0	3	0	5	0	7
a8	1	0	1	0	1	0	1

　pが燎眶のときと佰なり稍惮搂になっていることがわかる。圭喇眶の山では0が判眷していることがわかる。办刨0が判眷してしまうと、误のそれ笆惯はすべて0になってしまう。0が判眷しているので、a7∈h-1捐∷の乖で、aの猛はすべて1になることはありえない。

　笆惧の眶猛悸赋の冯蔡によると、p=7の眷圭には、p-1捐のときに涩ず1になることがわかった。この祸悸はpが燎眶であるときに办忍弄に喇り惟つ。これこそがフェルマ〖の井年妄である。拒嘿は肌の灌で豺棱する。

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フェルマ〖の井年妄 †

[年妄]フェルマ〖の井年妄
p¨燎眶、(a,p)=1とする。このとき、肌が喇り惟つ。
$a^{p-1}~\equiv~1~\,~(mod~\,~p)$

[沮汤]pは燎眶なので、1″i″pとすれば、肌の2灌犯眶はi°pのとき尸熟がpで充り磊れない。

$_p~C_i~=~\frac{p(p-1)~\cdots~(p-i+1)}{1~\cdot~2~\cdots~i}$

　よって、 $p~|~_p~C_i$ となる∈i=1,2,∧,p-1∷。なお、 $_p~C_0=1,~\,~_p~C_{p}=1$ である。

　ここで、年妄はaに簇する耽羌恕で沮汤される。

[1]a=1のとき、极汤に喇り惟つ。

[2]a=k-1のとき、年妄が喇り惟つと簿年する。

$(k-1)^{p-1}~\equiv~1~(mod~p)$

　よって、尉收にk-1を齿けると、肌が喇り惟つ。

$(k-1)^p~\equiv~k-1~(~mod~p~)$

　このとき、a=kのとき年妄が喇り惟つことを肩磨したい。

$a^p$
$=~((a-1)+1)^p$
$=(a-1)^p~+~_p~C_1~(a-1)^{p-1}~+~_p~C_2~(a-1)^{p-2}~+~\cdots~+~_p~C_{p-1}~(a-1)~+~1$
$\equiv~(a-1)+1~\,~(mod~\,~p)$
$=a$ 　ⅱ

[侍汤]mod pの贷腆洛山废は{1,2,∧,p-1}である。これを(*)とする。また、(a,p)=1であるaを(*)の称灌に齿けると、{1ˇa,2ˇa,∧,(p-1)ˇa}になる。これを(**)とする。

　(*)(**)は链挛としてmod pで办米しているから∈これは年妄として赂哼する∷、链婶の姥もmod pで圭票である。

$1~\cdot~2~\cdot~(p-1)~\equiv~(1a)~\cdot~(2a)~\cdots~((p-1)a)~\,~(mod~\,~p)$
$(p-1)!~\equiv~(p-1)!~\cdot~a^{p-1}$
¤ $1~\equiv~a^{p-1}~\,~(mod~\,~p)$ 　∈㈣((p-1)!,p)だから尉收から(p-1)!を充ることができる∷　ⅱ

[侍沮]∈ディリクレの沮汤∷

[年妄]≈pを燎眶、pはaを充り磊らないとする。
[1]x2⑨aに豺がない眷圭、 $a^{\frac{p-1}{2}}~\equiv~1$
[2]x2⑨aに豺がある眷圭、 $a^{\frac{p-1}{2}}~\equiv~-1$ ∽において、尉收を2捐すると、フェルマ〖の井年妄そのものである。　ⅱ

　フェルマ〖の井年妄の(a,p)=1という掘凤のところを今き垂えて、贷腆娟途梧の妥燎と雇えてもよい。

[废]
p¨燎眶
$a~\in~Z_p^*=\{1,2,\cdots,p-1|(a,p)=1\}$
とする。このとき、肌が喇り惟つ。
$\forall~a;~a^{p-1}~\equiv~1~\,(mod~\,~p)$

[废]
p|aでないならば、 $a^{p-1}~\equiv~1~\,~(mod~\,~p)$

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フェルマ〖の井年妄を脱いてべき捐纷换 †

　フェルマ〖の井年妄を蝗うと、mod pのべき捐纷换を弛にできる。

[毋]

$x~\equiv~123^{45}~\,~(mod~\,~13)$
$\equiv~6^{145}~\,~(mod~\,~13)$ 　∈㈣123⑨6 (mod 13)∷
$=6^{12~\cdot~3+9}$ 　∈㈣フェルマ〖の井年妄を蝗いたいため、12∈=13-1∷で芜捐を充っておく∷
$=(6^{12})^{3}~\cdot~6^9$
$\equiv~1^3~\cdot~6^9$
$=6^9$
$\equiv~5~\,~(mod~\,~13)$ 　〓

[毋] $1^2~+~2^2~+~\cdots~+~99^2$ は3で充り磊れることを绩す。

[1](a,3)=1の眷圭

　フェルマ〖の井年妄より、 $a^2~\equiv~1~\,~(mod~\,~3)$

　1×99の粗で3で充り磊れない眶の改眶は、肌のように纷换でき、66改ある。ただし、[ ]はfloor functionである。

$99-[\frac{99}{3}]=99-33=66$

　1が66改あるので圭纷は66だが、mod 3の坤肠なので、0になる。

[2](a,3)♀1の眷圭

　[1]の荒りの眶∈3で充り磊れる眶∷たちは、{3,6,9,∧,99}の33改ある。この33改の眶の圭纷は肌のように纷换できる。

$\sum_{i=1}^{33}~{3i}=3~\cdot~\sum_{i=1}^{33}~{i}~=~3~\cdot~\frac{33(33+1)}{2}=~3~\cdot~33~\cdot~17~\equiv~0~\,~(mod~\,~3)$

　骄って、[1][2]より、玛罢が喇り惟つ。　〓

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フェルマ〖の井年妄の橙磨 †

[年妄]
p¨燎眶とする。このとき肌が喇り惟つ。
$a^p~\equiv~a~\,~(mod~\,~p)$

[沮汤]フェルマ〖の井年妄より、 $a^{p-1}~\equiv~1~\,~(mod~\,~p)$ が喇り惟つ。

　圭票及では齿け换材墙なので、尉收にaを齿けると、≈ $a^{p-1}~\equiv~1~\,~(mod~\,~p)$ ∽⑼≈ $a^p~\equiv~a~\,~(mod~\,~p)$ ∽が喇り惟つ。　ⅱ

[输怪]沮汤の嫡が喇り惟つためには(a,p)=1という掘凤が涩妥。　〓

[年妄]
pが燎眶で、xがx⑨1 mod p-1を塔たすとき、扦罢の腊眶aに滦して肌が喇り惟つ。
$a^x~\equiv~a~\,~\pmod{p}$

[沮汤]

$x~\equiv~1~\,~(mod~\,~p-1)$
$x-1~\equiv~0~\,~(mod~\,~p-1)$
$p-1~|~x-1$
$\exist~q~\in~Z;~x-1~=~q(p-1)$

　 $a'~=~a~\,~(mod~\,~p)$ とする。

[1] $a'~\in~Z_p^*$ のとき

$a^x$
$\equiv~(a')^x~\,~(mod~\,~p)$
$\equiv~(a')^{q(p-1)+1}$
$\equiv~(a')^{q(p-1)}~\times~a'$
$\equiv~a'$ 　∈㈣フェルマ〖の井年妄∷
$=~a$

[2] $a'~\not{\in}~Z_p^*$ 、篓ちa'=0のとき

　≈ $a'~\equiv~0~\,~(mod~\,~p)$ ∽かつ≈ $(a')^x~\equiv~0~\,~(mod~\,~p)$ ∽より、0のところで芬げれば、 $(a')^x~\equiv~a'~\,~(mod~\,~p)$ が喇り惟つ。　ⅱ

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徊雇矢弗 †

∝なっとくするオイラ〖とフェルマ〖≠

a	1	2	3	4	5	6
a1	1	2	3	4	5	6
a2	1	4	2	2	4	1
a3	1	1	6	1	6	6
a4	1	2	4	4	2	1
a5	1	4	5	2	3	6
a6	1	1	1	1	1	1
a7	1	2	3	4	5	6

a	1	2	3	4	5	6	7
a1	1	2	3	4	5	6	7
a2	1	4	1	0	1	4	1
a3	1	0	3	0	5	0	7
a4	1	0	1	0	1	0	1
a5	1	0	3	0	5	0	7
a6	1	0	1	0	1	0	1
a7	1	0	3	0	5	0	7
a8	1	0	1	0	1	0	1

a	1	2	3	4	5	6
a1	1	2	3	4	5	6
a2	1	4	2	2	4	1
a3	1	1	6	1	6	6
a4	1	2	4	4	2	1
a5	1	4	5	2	3	6
a6	1	1	1	1	1	1
a7	1	2	3	4	5	6

a	1	2	3	4	5	6	7
a1	1	2	3	4	5	6	7
a2	1	4	1	0	1	4	1
a3	1	0	3	0	5	0	7
a4	1	0	1	0	1	0	1
a5	1	0	3	0	5	0	7
a6	1	0	1	0	1	0	1
a7	1	0	3	0	5	0	7
a8	1	0	1	0	1	0	1

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