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誊肌 †

誊肌
はじめに
フェルマ〖眶
フェルマ〖眶を充り磊る燎眶の妨を雇弧する
フェルマ〖燎眶と侯哭啼玛の簇犯
徊雇矢弗

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はじめに †

　メルセンヌ眶に击ているものとして、2p+1という妨を雇えることができる。

　2p+1が燎眶となるのは、p=2n∈n℃0∷となる眷圭に嘎られる。なぜならば、瘩眶kによりp=ek、e⒑Nと山されたとすると肌のように尸豺でき、k′1なら宝收の尉傍眶は1よりも络きいからである。

$2^p~+~1$
$=(2^e)^k~+~1$
$=(2^e~+~1)~\{~(2^e)^{k-1}~-~(2^e)^{k-2}~+~\cdots~-~2^e~+~1\}$

　よって、この妨で糠しい燎眶を斧つけようとするなら、p=2nの眷圭を雇えればよい。

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フェルマ〖眶 †

　フェルマ〖はam+1の妨において、a=2の眷圭、篓ち2m+1が燎眶かどうかという啼玛について雇えた。

[年妄]mが瘩眶dで充り磊れるとすると、2m+1は燎眶ではない。

[沮汤]もし、mが瘩眶dで充り磊れるとすると、肌のように尸豺できてしまう。

$2^m~+~1$
$=2^{ed}~+~1$ 　∈㈣mが瘩眶dで充り磊れるので、m=deとおいた∷
$={2^e}^d~+~1$
$=N^d~+~1$ 　∈㈣N:=2eとおく∷
$=(N-1)(N^{d-1}~-~N^{d-2}~-~\cdots~-~N~+1)$ 　∈㈣dが瘩眶なので尸豺できる。dが饿眶だと尸豺できない∷

よって、mが瘩眶dで充り磊れるとすると、2m+1は燎眶ではない。　ⅱ

　そこで、mに瘩眶の腆眶がない眷圭、篓ちm=2rの妨をしている眷圭を雇弧すればよい。

[年盗] $2^{2^r}+1$ ∈r℃0∷の妨の眶をフェルマ〖眶と钙ぶ。
この猛をFrと山淡する。

[年盗]フェルマ〖眶が燎眶のときフェルマ〖燎眶、圭喇眶のときフェルマ〖圭喇眶という。

　17坤氮にフェルマ〖はFnはすべて燎眶になると徒鳞した。しかし、1732钳にオイラ〖はF5が641で充り磊れることを券斧した。よって、F5は圭喇眶である。

$F_5~=~2^2^5~+~1=2^32~+~1=4294967297~=641~\times~6700417$

[踏豺疯啼玛]
(1)痰嘎に驴くのフェルマ〖燎眶があるか々
(2)痰嘎に驴くのフェルマ〖圭喇眶があるか々

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フェルマ〖眶を充り磊る燎眶の妨を雇弧する †

　 $F_r~=~2^{2^r}+1$ を充り磊る燎眶pを1つ雇える∈Frが燎眶ならば碰脸p=Fr∷。

[年妄]フェルマ〖眶を充り磊る燎眶pは肌の妨を积つ。
$p~=~2^{r+1}~l~+~1$ ∈l¨腊眶∷

[沮汤]

$p~|~F_r$
$F_r~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$2^{2^r}+1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$2^{2^r}~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ 　(*)
$2^{2^r~+~1}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣尉收を2捐した∷

nを $2^n~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ となるような呵井のべきとし、n=2r+1を沮汤する。

布淡のフェルマ〖の井年妄の橙磨年妄を脱いる。

[年妄]≈p¨燎眶、a¨pの擒眶でない腊眶とする。
このとき、 $a^n~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ となるような呵井の腊眶n∈′0∷を艰る。
すると、 $a^m~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ となるような腊眶m∈′0∷は、nの擒眶である∽

この年妄において、a=2,m=2r+1とおくと、nは2r+1の腆眶である。
よって、n=2k,k″r+1である。

ここで、k°r+1と簿年して谭解を绩す。

$2^n~\equiv~1~\,~\pmod{p}$
$2^{2^k}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ 　(**)

(*)と(**)により、k=rはありえない。
よって、k°rである。

また、(**)は肌のように恃妨できる。

$2^{2^k}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$
$2^{2^{k+1}}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣尉收を2捐した∷

これを帆り手して2捐していくと、 $2^{2^{k+2}}~\equiv~1,~2^{2^{k+3}}~\equiv~1,~\cdots,~2^{2^{r}}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ となり、(*)に谭解する。

したがって、k=r+1である。篓ち、n=2r+1である。

さらに、フェルマ〖の井年妄より、 $2^{p-1}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ である。
そして、フェルマ〖の井年妄の橙磨年妄より、 $2^n~=~2^{2^{r+1}}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ を塔たす呵井のべきn=2r+1はp-1を充り磊る。

ここで、睛をlとすると、 $p-1~=~2^{r+1}~l$ と今ける。

ゆえに、玛罢を塔たす。　ⅱ

[毋]F5=5294967297を充り磊る燎眶pは、p=26l+1=64l+1の妨をしている。

l	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
p=64l+1	65	129	193	257	321	385	449	513	577	641
冯蔡	燎眶でない	燎眶でない	F5を193で充ってみても充り磊れない	充り磊れない	燎眶でない	燎眶でない	充り磊れない	燎眶でない	充り磊れない	充り磊れる

このように、F5=5294967297は641で充り磊れるため、燎眶ではないことがわかる。

F5=5294967297=641∵6700417

　オイラ〖はさらに供勺して、肌の冯蔡を评た。これはlが饿眶2kであるということである。

　これを脱いると、フェルマ〖眶が燎眶であるかどうかを拇べる汐蜗が染尸になる。

[年妄]r℃2とする。そのとき、 $F_r=2^{2^r}+1$ を充り磊る燎眶pは肌の妨を积つ。
$p~=~2^{r+2}~k~+~1$ ∈k¨腊眶∷

[沮汤]F0=3,F1=5だから、笆布ではFr,r℃2の眷圭を雇える。

pは $p~=~2^{r+1}~l~+~1$ の妨であることはすでに沮汤貉みである。

[1] $p~=~2^{r+1}~l~+~1$ のlが饿眶であることを绩す。

$p~=~2^{r+1}~l~+~1$
$p~=~2^3~\cdot~2^{r-2}~l~+~1$
$p~=~8~\cdot~2^{r-2}~l~+~1$
$p~=~8~\cdot~m'~l~+~1$ 　∈㈣m':=2r-2とおいた∷
$p~=~8~\cdot~m~~+~1$ 　(*)　∈㈣m:=m'lとおいた∷

ここで、 $2^{4m}~(4m)!$ を肌のように今き木す。

$2^{4m}~(4m)!~=~(2~\cdot~1)~(2~\cdot~2)~\cdots~(2~\cdot~2m)~(2~\cdot~(2m+1))~(2~\cdot~(2m+2))~\cdots~(2~\cdot~4m)$
$2^{4m}~(4m)!~=~2~\cdot~4~\cdot~\cdots~\cdot~4m~(p-(4m-1))(p-(4m-3))~\cdots~(p-1)$ 　∈㈣(*)より、 $2~\cdot~(2m+1)=p-(4m-1),~2~\cdot~(2m+2)=p-(4m-3),~\cdots,~2~\cdot~4m~=~p-1$ ∷
$2^{4m}~(4m)!~\equiv~(-1)^{2m}~2~\cdot~4~\cdot~\cdots~\cdot~(4m-2)4m~(4m-1)(4m-3)~\cdots~1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣ $p-(4m-1)~\equiv~-(4m-1),~p-(4m-3)~\equiv~-(4m-3),~\cdots,~p-1~\equiv~-1~~\,~\pmod{p}$ ∷
$2^{4m}~(4m)!~\equiv~(4m)!~\,~\pmod{p}$
$2^{\frac{p-1}{2}}~(\frac{p-1}{2})!~\equiv~(\frac{p-1}{2})~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣(*)より、 $m=\frac{p-1}{8}$ になり、 $4m=\frac{p-1}{2}$ ∷
$(2^{\frac{p-1}{2}}~-~1)(\frac{p-1}{2})!~\equiv~0~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣宝收を焊收に败乖した∷

惧淡より、焊收はpで充り磊れる。
しかし、 $(\frac{p-1}{2})!$ はpより井さい极脸眶の姥なので、pで充り磊れない。
よって、 $2^{\frac{p-1}{2}}~-~1$ がpで充り磊れる。

篓ち、 $2^{\frac{p-1}{2}}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ 　(**)

このように、pがp=8m+1の妨をしているということより、(**)が评られた。

フェルマ〖の井年妄の橙磨年妄を蝗うと、n=2r+1は(p-1)/2を充り磊ることがわかる。篓ち、2r+2はp-1を充り磊る。睛をkとして、肌のように山すことができる。

$p-1~=~2^{r+2}~k$
$p~=~2^{r+2}~k~+~1$ 　ⅱ

[毋]F5=5294967297を充り磊る燎眶pは、p=27k+1=128k+1の妨をしている。

k	1	2	3	4	5
p=128k+1	129	257	385	513	641
冯蔡	燎眶でない	F5を257で充ってみても充り磊れない	燎眶でない	充り磊れない	充り磊れる

p=64l+1のときよりも、涩妥な纷换が染尸になっており、汐蜗は汾负されていることがわかる。

F5=5294967297=641∵6700417

[输怪]沮汤柒において、pが8m+1の妨の燎眶のときに、 $2^{\frac{p-1}{2}}~\equiv~1~\pmod{p}$ を绩した。

[年妄]≈腊眶aと燎眶p=2s+1が高いに燎とする。
そのとき、aがpを恕として士数娟途であるかないかは、肌によって年まる。
(1) $a^s~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ ⑼aは(pを恕とする∷士数娟途
(2) $a^s~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ ⑼aは(pを恕とする∷士数润娟途∽より、これは≈p=8m+1の妨の燎眶のときに、2はpを恕として士数娟途である∽ことを罢蹋する。　〓

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フェルマ〖燎眶と侯哭啼玛の簇犯 †

　フェルマ〖燎眶は年惮とコンパスだけによる士烫哭妨の侯哭啼玛に簇犯している。碰箕19盒のガウスによって肌の年妄が沮汤された。

[年妄]∈ガウス∷
极脸眶nに滦して、赖n逞妨が侯哭材墙であるための涩妥浇尸掘凤は、陵佰なるフェルマ〖燎眶p1,∧,pkとe℃0となる腊眶eになり、nが肌の妨で山されることである。 $n=2^e~p_1~\cdots~p_k$

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徊雇矢弗 †

∝供彩废のための介霹腊眶侠掐嚏　给倡赴芭规をめざして≠
∝なっとくするオイラ〖とフェルマ〖≠

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