Top / 完全数

完全数

[定義]自然数nに対して、n自身を除くすべての正の約数の和がnと一致するとき、nを完全数という。

[定義]自然数nの正の約数すべての和をσ(n)と書く。

[定理]自然数nが完全数であるとき、σ(n)=2nが成り立つ。

[例]n=6は完全数である。なぜならば、6の正の約数は1,2,3,6であり、6自身を除いた数を足すと、1+2+3=6となるからである。

• （左辺）＝σ(6)=1+2+3+6=(1+2+3)+6=6+6=12
• （右辺）＝2・6=12

◇

[定理]自然数nの素因数分解をn=paqbrc…とすれば、σ(n)は次の式で計算できる。

[証明]次に示す等比級数の積を考える。

(1+p+…+pa)(1+q+…+qb)(1+r+…+rc)…

　これを展開した際に現れる各項pαqβrγ…により、nの正の約数が（重複なく）すべて与えられる。
　なぜならば、[定理]「合成数nの素因数分解をn=paqbrc…とすれば、その正の約数の全体はpαqβrγ…、0≦α≦a、0≦β≦b、0≦γ≦c、…で与えられる」が成り立つから。

　よって、この積の値はσ(n)に等しい。

σ(n)=(1+p+…+pa)(1+q+…+qb)(1+r+…+rc)…

　さらに、等比級数の公式

を適用すれば、次が成り立つ。

　□

[例]n=496が完全数かどうかを調べる。

　nが完全数であれば「σ(n)=2n」が成り立つため、まずσ(n)を計算する。

496=24・31と素因数分解できるので、σ(496)は次のようにして計算できる。

σ(496)
=
=(32-1)(31+1) =31・25 =2×496

　したがって、496は完全数である。　□

[定理]
p：素数、Mpメルセンヌ素数（Mp=2p-1）とする。
このとき、Mp2p-1の値（完全数になる）の1の位は6 or 8である。

[証明]2のべきは次のようになる。

2,22=4,23=8,24=16,25=32

よって、2p-1の1の位は2,4,6,8のどれかである。

ただし、2p-1の1の位の数が5の場合には、2p-1は素数ではない。
なぜならば、1の位の数が5で素数である場合は、5のときしかありえないが、2p-1=5を満たす整数pは存在しないからである。
よって、2p-1はメルセンヌ素数ではないので、除外する。

したがって、Mp2p-1の値の1の位は6 or 8である。　□

[定理]（未解決）
奇数の完全数は存在しない。

[定理]完全数が存在すれば、10300以上の数である。

[定理]（未解決）
完全数は無限個存在する。

[補講]メルセンヌ素数が無限にあるかわかっていないが、もし無限にあれば、偶数の完全数は無限にあることになる。　◇