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誊肌 †

誊肌
底伪喷ˇオイラ〖簇眶
底伪喷ˇオイラ〖簇眶と贷腆娟途梧废の簇犯
底伪喷ˇオイラ〖簇眶の拉剂
オイラ〖の年妄
徊雇矢弗

↑

底伪喷ˇオイラ〖簇眶 †

[年盗]赖の腊眶mに滦して、底伪喷ˇオイラ〖簇眶 $\phi$ は肌のように年盗される。

$\phi~(m)~:=~\sharp~\{~a~|~1~\le~a~\le~m~\wedge~GCD~$~a,m~$~=1~\}$

　つまり、φ(m)♂∈1×mのうちでmと高いに燎な眶の改眶∷である。

　または、肌のように今き木すこともできる。

$\phi~(m)~:=~\sharp~\{~a~|~0~\le~a~\le~m-1~\wedge~GCD~$~a,m~$~=1~\}$

毋¨φ(6)♂∈1×6のうち6と高いに燎な眶の改眶∷♂2　1と5だけが6と燎になる。　〓

[输怪]驴くの眶池今ではオイラ〖簇眶と钙ぶが、泣塑の下换踩である底伪喷盗弓≮くるしまよしひろ≯はオイラ〖よりも涟に券斧していることがわかっており、海稿は底伪喷ˇオイラ〖簇眶と钙ばれる眷烫が驴くなると蛔われる。　〓

↑

底伪喷ˇオイラ〖簇眶と贷腆娟途梧废の簇犯 †

[年妄]mを恕とする贷腆娟途废の傅∈贷腆娟途梧∷の改眶は、底伪喷ˇオイラ〖簇眶φ(m)と办米する。篓ち、肌が喇り惟つ。

$\phi~(m)~=~\sharp~\{~(Z/mZ)^*}$

[沮汤]

$\sharp~\{~Z/mZ~\}~=\sharp~\{~\forall~a|~a+mZ~\}$ 　 $(Z/mZ)$ の妥燎の眶はm改

$\sharp~\{~(Z/mZ)^*~\}~=~\sharp~\{~\forall~a|~a+mZ~\wedge~GCD(a,m)=1~\}$ 　 $(Z/mZ)^*$ の材嫡傅

　よって、底伪喷ˇオイラ〖簇眶の年盗より、玛罢が喇り惟つ。　ⅱ

↑

底伪喷ˇオイラ〖簇眶の拉剂 †

↑

1に滦する底伪喷ˇオイラ〖簇眶の猛 †

[年妄] $\phi~(1)~=~1$

[沮汤] $\phi~(1)~=~\sharp~\{~a~|~1~\le~1~\le~m~\wedge~GCD~$~a,1~$~=1~\}$

　1″a″1⑼a=1より、GCD(a,1)=GCD(1,1)となるのは1改だけ。　ⅱ

↑

燎眶に滦する底伪喷ˇオイラ〖簇眶の猛 †

[年妄]燎眶pに滦して、肌が喇り惟つ。
$\phi~(p)~=~p-1$

[沮汤]1×pのうちでpと高いに燎な眶は1×p-1までのすべての眶である。つまり、p-1改ある。　ⅱ

[输怪1]疤眶nの戒搀凡G=<a>に滦して、Gの栏喇傅になれる。Gの傅の改眶はφ(n)である。

[输怪2]娟途茨Znにおいて、材嫡な傅の改眶はφ(n)である。

↑

燎眶ベキに滦する底伪喷ˇオイラ〖簇眶の猛 †

[年妄]p¨燎眶、n¨赖腊眶とする。 aが燎眶ベキpnのときは、肌が喇り惟つ。

$\phi~(p^n)~=~p^n~-~p^{n-1}$

ただし、n℃1とする。

[沮汤] $p^n$ より井さい赖の眶は $p^n~-1$ 改ある。

　また、 $a=p^n$ と高いに燎でない眶はpの擒眶であり、 $p^{n-1}~-1$ 改ある。なぜならば、pnより井さいpの擒眶は $p,2p,\cdots,(p^{n-1}-1)p$ だから。

　よって、 φ(pn)
♂∈链挛の改眶∷-∈a=pnとならない眶の改眶∷
♂(pn-1)-(pn-1-1)
♂pn-1(p-1)　ⅱ

↑

底伪喷ˇオイラ〖簇眶の捐恕拉 †

[年妄]底伪喷ˇオイラ〖簇眶の木姥尸豺∈捐恕拉∷
$(a,b)=1~\Rightarrow~\phi(ab)=\phi(a)~\phi(b)$

毋1¨

$\phi(12)=~\sharp~\{~1,5,7,11~\}=4$
$\phi(4)=~\sharp~\{~1,3~\}=2$
$\phi(3)=~\sharp~\{~1,2~\}=2$
¤ $\phi~(12)~=~\phi~(4)~\phi~(3)$

毋2¨

u=9∈误の眶∷
v=4∈乖の眶∷
uv=36

よって、

$\phi(u)=6$
$\phi(v)=2$
$\phi(uv)=12$

[沮汤]u,v¨高いに燎な赖腊眶、m=uvとしたときに、 $\phi~(m)~=~\phi(uv)~=~\phi(u)~\phi(v)$ が喇り惟つことを拇べる。

1からm=uvまでの腊眶を墓数妨に事べる。

1	2	3	∧	h	∧	u
u+1	u+2	u+3	∧	u+h	∧	2u
2u+1	2u+2	2u+3	∧	2u+h	∧	3u
∧	∧	∧	∧	∧	∧	∧
(v-1)u+1	(v-1)u+2	(v-1)u+3	∧	(v-1)u+h	∧	uv

このとき、称乖がuを恕とする窗链娟途废になっている。また称误がuを恕とする圭票梧の办婶になっている。

[1]ある1つの误∈v乖1误の乖误∷に叫てくる2つの腊眶が、vを恕として圭票でないことを绩す

误 $\begin{bmatrix}h~\\~u+h~\\~2u+h~\\~\vdots~\\~(v-1)v+h~\end{bmatrix}$ 　(*)

から2つの眶a=pu+h,b=qu+h∈ここで、p,qはv-1笆布の佰なる赖腊眶とする∷と弥く。

ここで、 $a~\equiv~b~\pmod{v}$ と簿年すると、

$pu+h~\equiv~qu+h~\pmod{v}$
$u(p-q)~\equiv~0~\pmod{v}$
$p-q~\equiv~0~\pmod{v}$ 　∈㈣(u,v)=1∷
$p~\equiv~q~\pmod{v}$

これはp,qは佰なる赖腊眶ということに谭解。

よって、 $p~\not{\equiv}~q~\pmod{v}$

　それぞれの误にはv改の眶が事んでいて、そのうちどの2つの眶もvを恕として圭票ではないことがわかったので、これらはvを恕とする窗链娟途废である。

　称误においてvと高いに燎な腊眶は $\phi~(v)$ 改ある。これがどの误についても喇り惟つ。

[2](*)はuを恕とする圭票梧の办婶、篓ちuを恕とするAuであることを绩す

これに崔まれる眶はすべてau+hの妨の腊眶である∈ただし、aは腊眶∷。

[年妄]≈(u,v)=1 ⑼ (u,au+h)=1∽より、この山のu改の误のうち、uと高いに燎な眶から喇る误は $\phi(u)$ 改ある。そして、それらの误に叫てくる眶はすべてuと高いに燎である。

　[1][2]より、uと高いに燎な眶から喇る $\phi(u)$ 改の误それぞれが、vと高いに燎な $\phi(v)$ 改の腊眶を崔んでいる。

　よって、この山面のuv改の腊眶のうちに、uともvとも高いに燎な腊眶は $\phi(u)~\phi(v)$ 改赂哼する。　ⅱ

[侍沮]n=ab,(a,b)=1

　 $A=~\{~ay+bx~|~x=0,1,\cdots,a-1~;~y=0,1,\cdots,b-1~\}$ はnを恕とする娟途废である。　∧

　なぜならば、 $A~\ni~ay+bx~,~ay'+bx'$ となり、 $ay+bx~\equiv~ay'+bx'~\,~(mod~\,~n)$ になる。笆惯肌のように鸥倡していく。

$ay+bx~\equiv~ay'+bx'~\,(mod~\,~n)$
$a(y-y')~\equiv~b(x'-x)~\,(mod~\,~n)$
$a(y-y')~\equiv~0~\,(mod~\,~b)$
$y-y'~\equiv~0~\,(mod~\,~b)$ 　∈㈣≈(a,b)=1⑹a|bc∽⑼≈a|c∽∷
$y=y'$

票屯にして、 $x=x'$

　さらに、 $A~\ni~ay+bx$ に滦して、肌が喇り惟つ。

$(ay+bx,n)=1~\Longleftrightarrow~(x,a)=1,(y,b)=1$ 　∧

[1]まず⑼を沮汤する。

　票屯にして、(y,b)=1になる。

[2]肌にを沮汤する。

　(ay+bx,a)=(bx,a)=1∈㈣(x,a)=1∷となる。票屯にして、(ay+bx,b)=(ay,b)=1となる。n=abより、(ay+bx,n)=1になる。

　笆惧より、肌のように纷换できる。

$\phi(n)$
$=~\sharp~\{~ay+bx~\in~A~|~(ay+bx,n)=1~\}$ 　∈φの年盗と。ay+bxをブロックとして雇える∷
$=~\sharp~\{~ay+bx~\in~A~|~(x,a)=1~\wedge~(y,b)=1~\}$ 　∈㈣の⑼∷
$=~\sharp~\{~ay+bx~\in~A~|~(ay+bx,a)=1~\wedge~(ay+bx,b)=1~\}$ 　∈㈣の∷
$=~\sharp~\{~ay+bx~\in~A~|~(ay+bx,a)=1~\}~\times~\sharp~\{~ay+bx~\in~A~|~(ay+bx,b)=1~\}$ 　∈㈣改眶は木姥尸豺できる∷
$=\phi(a)~\cdot~\phi(b)$ 　ⅱ

[侍沮]继咙fを≈ $f:~Z/(mn)~\rightarrow~Z/(m)~\times~Z/(n)$ ∽とする。fによるZmnの咙がちょうどZm∵Znであることを绩せば、fが1滦1であることによって沮汤が姜わる。

　 $x~\,~mod~\,~mn~\in~Z_{mn}$ とすると、その年盗から(x,mn)=1であり、(x,m)=(x,n)=1となる。よって、 $x~\,~mod~\,~m~\in~Z_m$ 、 $x~\,~mod~\,~n~\in~Z_n$ である。これで、 $f(Z_{mn})~\subset~Z_m~\times~Z_n$ が喇り惟つ。

　肌に、 $(~x~\,~mod~\,~m~,~y~\,~mod~\,~n~)~\in~Z_m~\times~Z_n$ 篓ち、≈x mod m⒑Zm⑹y mod n⒑Zn∽とする。面柜客娟途年妄より、≈z⑨x (mod m)⑹z⑨y (mod n)∽を塔たすz∈⒑Z∷は赂哼する。
　≈z⑨x (mod m)⑹(x,m)=1∽によって、(z,m)=1となる。票屯に(z,n)=1となる。よって、(z,mn)=1である。篓ち、z mod mn⒑Zmnである。
　さらに、 $f(~z~\,~mod~\,~mn~)=(~x~\,~mod~\,~m~,y~\,~mod~\,~n)$ なので、 $Z_m~\times~Z_n~\subset~f(Z_{mn})$ が喇り惟つ。

　笆惧から、 $f(Z_{mn})~=~Z_m~\times~Z_n$ が绩された。　ⅱ

[侍沮]φ(mn)は疤眶mnの戒搀凡Gの傅で、栏喇傅になれるものの改眶である。

　(m,n)=1より、この凡Gは疤眶m,nの戒搀凡G1,G2の木姥に尸豺される。

　婶尸凡G1,G2で栏喇傅になれる傅の改眶はそれぞれφ(m),φ(n)であるが、これらの傅の姥と戒搀凡Gの栏喇傅になれる傅は办米する。

　したがって、φ(mn)=φ(m)φ(n)が喇り惟つ。　ⅱ

毋¨a=3,b=5,n=ab=15

A={3y+5x|x=0,1,2;y=0,1,2,3,4}とすると、このときAがとりうる猛すべてを山にすると肌のようになる。

	y=0	y=1	y=2	y=3	y=4
x=0	0	3	6	9	12
x=1	5	8	11	14	17
x=2	10	13	16	19	22

　滥い眶の婶尸が贷腆娟途废の傅になる。

φ(15)=φ(5)∵φ(3)=4∵2=8

↑

圭喇眶に滦する底伪喷ˇオイラ〖簇眶の猛 †

[年妄]m1,∧,mnが2つずつ高いに燎となる赖腊眶とし、 $m=m_1~m_2~\cdots~m_n$ とおく。このとき、肌が喇り惟つ。

$\phi~(m)=~\phi(m_1)\phi(m_2)\cdots\phi(m_n)$

[沮汤] $(Z/mZ)^*~\simeq~(Z/m_{1}Z)^*~\times~(Z/m_{2}Z)^*~\times~\cdots~\times~(Z/m_{n}Z)^*$ 　ⅱ

[年妄]赖腊眶mの筛洁尸豺が $m=p^a~\times~q^b~\times~r^c$ とする。
このとき、 $\phi(m)~=~m~(1-~\frac{1}{p})~(1-~\frac{1}{q})~(1-~\frac{1}{r})$

[沮汤]

$\phi(m)$
$=\phi(p^a~\times~q^b~\times~r^c)$
$=~(p^a~-~p^{a-1})~(q^b~-~q^{b-1})~(r^c~-~r^{c-1})$
$=~p^a(1~-~\frac{1}{p})~q^b(1~-~\frac{1}{q})~r^c(1~-~\frac{1}{r})$
$=~p^a~q^b~r^c~(1~-~\frac{1}{p})~(1~-~\frac{1}{q})~(1~-~\frac{1}{r})$
$=~m~(1-~\frac{1}{p})~(1-~\frac{1}{q})~(1-~\frac{1}{r})$ 　ⅱ

　これは办忍にも喇り惟つ。

[年妄]mを赖腊眶とし、 $m=p_1^{e_{1}}p_2^{e_{2}}\cdots~p_n^{e_{n}}$ をmの燎傍眶尸豺とする。このとき、肌が喇り惟つ。

$\phi(m)=m(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_n})$

[沮汤] $\phi(m)$
$\phi(p_1^{e_{1}}p_2^{e_{2}}\cdots~p_n^{e_{n}})$
$=~\phi(p_1^{e_{1}})~\phi(p_2^{e_{2}})~\cdots~\phi(p_n^{e_{n}})$ 　∈㈣惧淡の年妄により∷
$=~p_1^{e_{1}-1}(p_1~-1)~p_2^{e_{2}-1}(p_2~-1)~\cdots~~p_m^{e_{m}-1}(p_m~-1)$
$=~p_1^{e_{1}}(1-\frac{1}{p_1})~~p_2^{e_{2}}(1-\frac{1}{p_2})~\cdots~p_n^{e_{n}}(1-\frac{1}{p_n})$
$=p_1^{e_{1}}p_2^{e_{2}}~\cdots~p_n^{e_{n}}(1-\frac{1}{p_1})~(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_n})$
$=m(1-\frac{1}{p_1})~(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_n})$ 　ⅱ

↑

底伪喷ˇオイラ〖簇眶と下 †

[年妄]mのすべての腆眶∈1とmを崔め∷dについての下はmになる。篓ち、肌が喇り惟つ。

$\sum_{~d|m,d~\ge~1}~\phi~(d)~=m$

[沮汤]d|nとする。

$\sharp~\{~x~|~1~\leq~x~\leq~m~\wedge~(x,m)=d~\}$
$=~\sharp~\{~x~|~1~\leq~x~\leq~m~\wedge~(~\frac{x}{d}~,\frac{m}{d}~)=1~\}$ 　∈㈣ $(x,m)=d~\Longleftrightarrow~(\frac{x}{d},frac{m}{d})=1$ ∷
$=\phi~(\frac{m}{d})$

　办数、 $\{~1,2,~\cdots~,m~\}~=~\coprod_{d|m}~\{~x|1~\le~x~\le~m~\wedge~(x,m)=d~\}$ が喇り惟つ。よって、改眶で雇えると $\sharp~\{~1,2,~\cdots~,m~\}~=~\sharp~\{~\coprod_{d|m}~\{~x|1~\le~x~\le~m~\wedge~(x,m)=d~\}~\}~=~\sharp~\{~x~|~1~\leq~x~\leq~m~\wedge~(x,m)=d~\}$ のように今き垂えられる。

　笆惧より、玛罢が喇り惟つ。　ⅱ

[侍沮]塑剂弄に惧と票じ。

　d|mとするとき、1,∧,mの面の眶xで(x,m)=dとなるものの改眶はφ(m/d)である。なぜならば、(x,m)=dのとき、x'=x/d,m'=m/dとおけば、≈1″x'″m';(x',m')=1∽だから、≈1″x″m;(x,m)=d∽となる。眶xとx'∈1″x'″m'〃(x',m')=1を塔たす∷とは、x'=x/dの簇犯によって1滦1滦炳する。よって、x'の改眶はφ(m')=φ(m/d)であるからである。

　nの腆眶の链挛をd0,∧,dnとするとき、扦罢のx∈1″x″m∷に滦する(x,m)はd0,∧,dnのどれかに霹しい。よって、1,∧,mは肌のように尸充される。

(x,m)=d0となるxの礁圭
(x,m)=d1となるxの礁圭
∧
(x,m)=d2となるxの礁圭

　称礁圭の傅の改眶は、すでに斧たように $\phi(\frac{m}{d_0}),\cdots,\phi(\frac{m}{d_n})$ であるが、 $\frac{m}{d_0},\cdots,\frac{m}{d_n}$ に霹しいから、 $\sum_{~d|m,d~\ge~1}~\phi~(d)~=m$ が喇り惟つ。　ⅱ