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左剰余類・右剰余類

[定義]G：群、H：Gの部分群、a∈Gとする。
aH:={ah|h∈H}
Ha:={ha|h∈H}

[定義]左剰余類・右剰余類
G：群、H：Gの部分群、a∈Gとする。
このとき、Hを法としてaと左合同であるGの元全体の集合を、aのHを法とする左剰余類（Hの左剰余類）という。
また、Hを法としてaと右合同であるGの元全体の集合を、aのHを法とする右剰余類（Hの右剰余類）という。

[例]、（位数2の巡回部分群）とする。

このとき、GがHを法として、どのように分類されるか調べる。

Gの要素	aH

以上から、のときのaHはであり、のときのaHはである。
例えば、のとき、より、|aH|=2で、|H|=|aH|を満たしている。

よって、

また、|G|=4、|H|=2、|G:H|*1=2であり、|H|=|G:H|が成り立つ。つまり、Hを法とした左剰余類の集合の濃度とHの集合の濃度が一致している。

さらに、|G|=|G:H|・|H|が成り立つ。　◇

[例]加法群とする。

「(Hを法とする左剰余類の集合)=(aHの集合)={H, 1+H}」であるから、|Z12:H|=2

また、|G|=12、|H|=6より、|G|=|G:H||H|が成り立っている（ラグランジュの定理が成立していることを示す一例）。

[定理]G：群、H：Gの部分群とする。
このとき、|H|=|aH|

[証明]Hの任意の元h,h'に対して、「h=h'」⇔「ah=ah'」が成り立つ。

よって、部分群の集合Hの元hに対して、左剰余類の集合の元aHが対応することは左剰余の定義からいえる。また、Hの中で一致する元のときは、aHの中で対応する元も一致する。よって、全単射になる。

したがって、|H|=|aH|　□

[定理]G：群、H：Gの部分群とする。
このとき、「Hの左剰余類の集合の濃度」と「Hの右剰余類の集合の濃度」は一致する。

[証明]が成り立つ。

よって、左剰余類の集合の元aHに対して、右剰余類の集合の元Ha-1を対応させると、これは全単射になる。

したがって、左剰余類の集合の濃度と右剰余類の濃度は一致する。　□

[定義]指数
G：有限群、H：Gの部分群とするとき、Hの左剰余類の集合の濃度をGにおけるHの指数といい、|G:H|で表す。

[例]|G:{e}|=|G|、|G:G|=1

[定理]ラグランジュの定理
G：有限群、H：Gの部分群とする。
このとき、|G|=|G:H|・|H|が成り立つ。

[系]
G：有限群、H：Gの部分群とする。
このとき、Hの位数はGの位数の約数である。即ち、|G|||H|が成り立つ。

[補足]位数が素数である群は真部分群を持たない巡回群である。　◇

[系]
G：有限群とする。
∀a∈Gにおいて、aの位数はGの位数の約数である。即ち、|a|||G|が成り立つ。

[証明]aによって生成されたGの巡回部分群<a>を考える。
[系]「|G|||H|」より、<a>はGの部分群なので、|<a>|は|G|の約数である。
また、[定理]「∀a∈G：|<a>|=|a|」が成り立つ。| よって|a|は|G|の約数である。　□

[系]
G：有限群とする。
「|G|=n」⇒「∀a∈G, an=e」

[証明]ここで、|a|=mとおく。
[系]「|a|||G|」より、∃l∈Z, n=mlを満たす。
an=aml=(am)l=el=e　□