ΥڡϤƤʥ֥åޡɲΥڡޤϤƤʥ֥åޡ Υڡlivedoor åפɲΥڡޤlivedoor å

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ĤǤʤĴĤǡ0RʳʤΤintegral domainȤ

ĤȤϡ1=0ǤR¨R={0}ΤȤǤ롣

㡧ġ¿༰ĤǤ롣

ĴĤȤ߹碌ȼ롣

[]ֲĴRǤעΡ֢a,bR;ab=0 a=0 or b= 0

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R
aʢRˡĵոñˤǤ0Ǥʤ
Ȥ롣
ʬa=bcb,cRˤСbޤcñˤʤȤaR󸵡irreducible elementȤ
ޤb,cRˤơa|bca|b or a|cפȤ­ȤaRǸȤ

[]Ʊȼ
R
a,bR
Ȥ롣
֡b|a a|bע֢͡uR s.t. a=ubס defabƱȼassociateǤȤabɽ

ߤƱȼʸ˴ؤ뿶񤤤򶦤ˤ롣

a,bƱȼΤȤa|cb|c

Ǹϴ

[]Ǹϴ󸵤Ǥ롣

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aǸȤơa=bcȤСa|b or a|cΩ롣

ǡa|bȤ롣

a|b
b=adʢdR
b=bcdʢa=bc
b(1-cd)=0
cd=1ʢRa0b0
cñʲĵո

Ʊͤˤơbñ

äơa=bcb,cRˤΤȤb or cñǤΤǡaϴ󸵡

[]
aǸΤȤ
a|b1br͢i{1,,r} s.t. a|bi

[]

Ǹꡢa|b1 or a|b2br

Ԥξˤϡa|b2 or a|b3br

ʲƱͤˤСa|b1 ora|b2 or or a|br

[]RǤϾõΧΩġ
a,b,cRˤơ ac=bcc0ע͡a=b

[]ac=bcꡢ(a-b)c=0Ωġ

RǤ뤫顢0ȰۤʤҤϤʤĤޤꡢc0ꡢa-b=0ˤʤۤʤäơa=b

[]RʬǤ롣
(i)0ǤñǤʤϴʬġ
(ii)󸵤ǸǤ롣

ɸ

[]ɸ ĴRɸcharacteristicȤϡn1=1++1=0ǾμΤȤǤ롣
Τ褦n¸ߤʤȤɸ0롣

Rɸεchar(R)ɽ

1char(Z)=0

ZϽ۴ĤƤʤ顣

2char(Zp)=p

[]char(R)=n(0)Ȥ롣
ΤȤm1=0עΡmnܿס

[]

[1]ͤ򼨤

a,bZ s.t. m=na+b 0bn

ꡢ0=na+bȤʤꡢna=-bΩġ

b0Ȥȡa|b n|b

0bnn|b̷⡣

äơb=0Ȥʤꡢm=naĤޤꡢn|m

[2]򼨤

n|m

ΤȤm10Ȳꤷ̷Ƴ

n0
00 (mod n)

̷⢢

[]Rɸ0ǿǤ롣

[]char(R)=nʡ0ˤȤ

nn=n'nǡǡn'1,n''1ˤȲꤹ롣

n1=0
n'n''=0
(n'1)(n''1)=0
n'1=0 or n''1=0ʢR

nɸǤ뤳Ȥ̷⤹롣

椨ˡn0 or ǿǤ롣

ȲĴ

[]ĴΤǤ롣

[]Fa,bФơab=0Ȥ롣

ΤȤa0ʤС-1Fʢ0ǤʤRθaRˤƾˡոa-1Ĥ

äơb~=~(a^{-1}~a~)~b~=~a^{-1}~(ab)=~a^{-1}~\cdot~0~=0

פab=0a0ʤСɬb=0ˤʤäƤޤa,bҤˤʤʤ

εդɬΩʤ

1ZǤ뤬ΤǤϤʤ

ZϲˡȾˡƤ롣Zϲˡ˴ؤƷˤʤäƤ롣ޤˡ˴ؤΧʬˡ§Ω1(Z)ˡñ̸Ǥ롣ˡˡϲĴǤ뤫顢ZϲĴĤˤʤ롣

ơǤդm,n(Z)ˤĤơm0n0mn0פǤ롣жСmn=0m=0 or n=0פǤZ0ȰۤʤҤʤˡäơZǤ롣

2Q,R,CǤꡢΤǤ⤢롣

a~\in~\mathbb{Q}^{*}Ȥȡa^{-1}~\in~\mathbb{Q}^{*}Ǥ롣äơaa-1=1ꡢQ0ʳθϲĵոǤ롣äơQΤǤ롣

R,CˤĤƤƱͤǤ롣

3\mathbb{Z}_nϲĴĤǤꡢnǿΤȤˤʤ[1]

[1]n=4ΤȤ

\mathbb{Z}_4ϲĴĤǤ뤬22=0ꡢ2ҤȤʤ롣äơ\mathbb{Z}_4ǤϤʤ

[2]n=5ΤȤ

\mathbb{Z}_5ǤꡢΤˤʤäƤ롣ʤʤС\mathbb{Z}_5^*~=~U(\mathbb{Z}_5)Ͼˡ˴ؤƷˤʤ뤫Ǥ롣

Τ褦˸θĿ¤ϡդΩġ

[]ͭ¸ĤθʤϲĴΤǤ롣

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