誊肌

1肌の稍年数镍及

 腊眶a,b,cについて、肌の数镍及の腊眶豺を滇める啼玛を艰り惧げる。

ax+by=c (*)

 稍年数镍及(*)を豺くことは、傣部池弄に雇えれば、木俐ax+by=c惧の腊眶爬∈郝筛が尉数とも腊眶の爬∷を滇めることと票じである。

1肌の稍年数镍及(*)について、肌のように窗链な批えを涂えることができる。

[年妄]d=GCD(a,b)と弥くと肌が喇り惟つ。
[1]cがdの擒眶でなければ、(*)は腊眶豺を积たない。
[2]cがdの擒眶ならば、(*)は腊眶豺を∈警なくとも1つ∷积つ。
また、x=x0,y=y0が(*)の1つの豺であれば、(*)のすべての豺が肌の妨で涂えられる。
x=x_0~+~\frac{b}{d}~t,~y~=~y_0~-~\frac{a}{d}~t (**)
ただし、tは扦罢の腊眶である。

[沮汤]数镍及(*)が腊眶豺を积ったとすれば、dは(*)の焊收を充り磊るので、dは((*)の宝收である)cを充り磊らなくてはならない。これで[1]の略而が绩されたので、[1]が喇り惟つ。

海刨は、嫡にdがcを充り磊ると簿年する。このときは、ユ〖クリッドの高近恕によって、数镍及ax+by=dの腊眶豺x=x*,y=y*を滇めることができる。

x=x*,y=y*が(*)の豺であることより、扦罢の腊眶tに滦して(**)が(*)の豺であることはすぐに澄かめられる∈洛掐して纷换するだけである∷。

嫡に、x,yが(*)の豺であるとすれば、霹及(*)からax0+by0=cを苞き换すれば、

a(x-x0)+b(y-y0)=c-c=0

となるので、a(x-x0)=-b(y-y0)が喇り惟つ。

さらに、d=GCD(a,b)で充れば、肌が评られる。

\frac{a}{d}~(x-x_0)~=~-~\frac{b}{d}~(y~-~y_0) (***)

ここで、a/dとb/dは高いに燎なので、(***)からb/dがx-x0を充り磊ることがわかる。つまり、ある腊眶tによって、x-x_0=\frac{b}{d}tと山される。

これを(***)に洛掐すると、y-y_0=-\frac{a}{b}(x-x_0)=-\frac{a}{d}tが评られる。 ⅱ

2肌の稍年数镍及

㈠dとの簇犯

 极脸眶dに滦して、㈠dは铜妄眶かという啼玛を雇える。

 この啼玛は2じの稍年数镍及x2-dy2=0が极脸眶豺を积つかどうかという啼玛と簇息している。

稍年数镍及が豺が积たないことを绩すために圭票及を网脱する

 肌の炭玛は词帽だが、梦っていると舔に惟つことが驴い。

[炭玛]腊眶xに滦して、笆布が喇り惟つ。

x2⑨0 or 1 (mod 4)

[沮汤]腊眶xは4を恕とした眷圭、0,1,2,3のどれかに圭票である。x=0,1,2,3の眷圭のx2を4で充った途りを纷换する。

x0123
x20101

この山から、x2 (mod 4)の猛は0 or 1しかない。 ⅱ

 この炭玛は、咐い垂えれば、士数眶は4を恕として2や3に圭票になることはない。

[庙罢]毋えば、17⑨1 (mod 4)なので、惧淡の炭玛より17は士数眶というのは粗般いである。汤らかに17は士数眶ではない。

惧淡の炭玛は士数眶であるためには0または1と圭票でなければならないということであり、0または1と圭票であれば涩ず士数眶になるというのはではない。 〓

 さらに、拒しい肌の炭玛も绩すこともできる。

[炭玛]腊眶xに滦して、笆布が喇り惟つ。

x2⑨0 or 1 or 4 (mod 8)

[沮汤]腊眶xは8を恕とした眷圭、0,1,2,3,4,5,6,7のどれかに圭票である。x=0,1,2,3,4,5,6,7の眷圭のx2を8で充った途りを纷换する。

x01234567
x201410141

この山から、x2 (mod 4)の猛は0 or 1しかない。 ⅱ

[侍沮][1]xが饿眶ならx=2y(yは腊眶)と山すことができ、x2=4y2である。

このとき、yが饿眶なら、y2も饿眶であるから、≈x2=4y2=4∵饿眶=8の擒眶∽である。
また、yが瘩眶なら、y2も瘩眶であるから、≈x2-4=4(y2-1)=4∵(瘩眶-1)=4∵饿眶=8の擒眶∽である。

[2]xが瘩眶ならx=2z+1(zは腊眶)と山すことができ、x2-1=(2z+1)2-1=4z2+4z=4z(z+1)となる。zかz+1はどちらかが饿眶でるため、x2-1は8の擒眶である。 ⅱ

稍年数镍及が豺を积たないことを士数娟途の拉剂から滇める

[毋]肌を塔たす腊眶豺を积たないことを绩す。

x2-21y2=38 (*)

[沮汤]秦妄恕で沮汤するために、(*)が腊眶豺x,yを积つと簿年する。

このとき、38の燎傍眶である19に庙誊して、士数娟途の雇弧を乖っていく。

さて、もし19|yであれば、(*)によって、19|x2が喇り惟つ。

すると、19は燎眶であるから、19|xとなる。

これで、x,yが鼎に19で充り磊れることになったので、(*)の焊收は192で充り磊れる。

しかし、(*)の宝收は192では充り磊れないから、これは谭解する。

したがって、yは19と高いに燎でなくてはならない。

(*)の尉收を19を恕として雇えると、肌が喇り惟つことがわかる。

x2-21y2⑨0 (mod 19)
x2-2y2⑨0 (mod 19) (**) ∈㈣21⑨2 (mod 19)∷

yが19で充り磊れないので、19を恕とするyの嫡眶y-1が赂哼する。

(**)の尉收に(y-1)2を齿けると、肌が评られる。

(xy-1)2⑨2 (mod 19)

これは2が19を恕とする士数娟途であることを绩しているが、これは(2/19)=-1∈2は恕19の士数润娟途の1つだから∷という祸悸に谭解している。 〓

稍年数镍及が豺を积たないことへの炳脱

[毋]稍年数镍及x2-xy-2y2=-1は豺を积たないこと∈数镍及を塔たす腊眶x,yは赂哼しないこと∷を绩す。

数镍及を塔たす腊眶x,yが赂哼すると簿年する。

ここで、3を恕として、xとyは0,1,2のどれかに圭票である。これらの猛の寥み圭わせについて、x2-xy-2y2の猛を纷换して、山を侯る。

xyx2-xy-2y2
000
01-2⑨1
02-8⑨1
101
11-2⑨1
12-9⑨0
204⑨1
210
22-8⑨1

よって、x2-xy-2y2⑨0 or 1である。

  • 1⑨2 (mod 3)であるから、x2-xy-2y2は豺を积たないことがわかる。 〓

[输怪]列妒俐x2-xy-2y2=-1∈列妒俐の敛夺俐はx+y=0とx+2y=0∷が呈灰爬を奶らないことを罢蹋している。 〓

徊雇矢弗

  • ∝换眶からはじめよう—眶侠≠