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目次

鳳・テブナンの定理

  • =テブナンの定理
  • =等価電圧源定理
  • 鳳【ほう】・テブナンの定理は、直流回路網でも交流回路網でも使える。
  • 鳳・テブナンの定理は、回路網中に新しい枝路を接続するときに、電流を求める場合に効力を発揮する。

[定理]鳳・テブナンの定理
電源が含まれたある線形回路(ブラックボックス)から出ている端子a-b間に、インピーダンス\dot{Z}が接続されている。
このとき、回路から出ている端子間の開放電圧\dot{V}_0と、回路内の電源を0としたときの回路のインピーダンス\dot{Z}_0が求まれば、それら2つの量を用いることで、ブラックボックスを簡単な等価回路に置き換えることができる。

開放電圧\dot{V}_0とは、端子a-b間に何も負荷を接続しなかったときの電圧のことで、回路内部の電源を0にするということは、電圧源であれば短絡し、電流源であれば開放するということを指す。
電源を0にした状態では、端子a-b間はインピーダンスのみで構成されているので、それらの合成インピーダンスを求めれば、ここでいうインピーダンス\dot{Z}_0が求められる。
この2つの量、\dot{V}_0\dot{Z}_0が既知の状態で、端子a-b間に負荷\dot{Z}を接続したとき、負荷\dot{Z}に流れる電流\dot{I}は、次の式で求めることができる。
\dot{I}~=~\frac{\dot{V}_0}{\dot{Z}_0~+~\dot{Z}}
鳳・テブナンの定理によって求められる等価回路は次の通りである。

[証明]次のように、端子a-b間の開放電圧\dot{V}_0と同じ大きさの電圧源を端子a-bの外側に負荷\dot{Z}と直列に接続する。

このとき、負荷にかかる電圧を\dot{V}とすると、端子a-b間において電圧・起電力の関係は、次のようになる。

\dot{V}_0~=\dot{V}_0~~+~\dot{V} (左辺の\dot{V}_0は端子の開放電圧、右辺の\dot{V}_0は電圧源による起電力)
\dot{V}~=~0

これは、負荷での電圧降下がないことを意味する。
つまり、負荷には電流が流れていないこと、即ち\dot{I}_1=0である。

この回路について、重ねの理を適用すると、次のように2つの回路に分けることができる。

(a)の回路は、端子a-b間の外側に接続された電源を除去した回路である。
この回路は、定理内で説明した最初の回路そのものである。
つまり、この回路に流れる電流\dot{I}_2が、鳳・テブナンの定理でいう電流\dot{I}になる。

(b)の回路は、線形回路内部にある電源を除去した回路である。
鳳・テブナンの定理の定理の条件に、線形回路内部の電源を0としたときの回路のインピーダンス\dot{Z}_0が与えられているので、この回路を書き換えると、次のようになる。

これは単純な直列接続の回路なので、次が得られる。

\dot{V}_0~=~\dot{I}_3~(\dot{Z}_0~+~\dot{Z})
\dot{I}_3~=~\frac{\dot{V}_0}{\dot{Z}_0~+~\dot{Z}}

重ねの理により、電流は次のように計算できる(電流の向きを考慮する)。

\dot{I}_1~=~\dot{I}_2~-~\dot{I}_3
0~=~\dot{I}_2~-~\frac{\dot{V}_0}{\dot{Z}_0~+~\dot{Z}} (∵\dot{I}_1~=0,\dot{I}_3~=~\frac{\dot{V}_0}{\dot{Z}_0~+~\dot{Z}}
\dot{I}_2~=~\frac{\dot{V}_0}{\dot{Z}_0~+~\dot{Z}}
\dot{I}~=~\frac{\dot{V}_0}{\dot{Z}_0~+~\dot{Z}} (∵電流\dot{I}_2は、鳳・テブナンの定理の定理でいう電流\dot{I}であるから) □

鳳・テブナンの定理を用いた解法

1:R1を繋ぐ前の端子電圧Vab(=E0)を求める。この電圧を開放端起電力という。

2:回路の中の起電力をすべて短絡した場合に、ab端子から見た合成抵抗(内部抵抗)を計算する。

R_0~=~\frac{R_1~R_2}{R_1~+~R_2}

3:次のようにVabとR0が繋がれたものとみてよい。

I=\frac{V_{ab}}{R_0~+~R}

練習問題

[問]次の回路のIを求めよ。

[ヒント1]鳳・テブナンの定理の解法を用いる。

[ヒント2]真ん中の抵抗2Rを枝路として扱う。

[解答]真ん中の抵抗2Rを枝路として扱い、鳳・テブナンの定理の解法を用いる。

1:a-b間の電圧Vabを計算する。

 青色の部分がその地点での電圧である。
 上と下の抵抗は同一値であるため、b地点での電圧は2Eとわかる。

 Vabは次のように計算できる。

V_{ab}=V_a~-~V_b~=~3E~-~2E~=~E

2:電源を短絡させた場合の(a-bから見た)R0を計算する。

R_0~=~\frac{3}{2}~R

3:鳳・テブナンの定理より、次のように計算できる。

I
=\frac{V_{ab}}{2R+R_0} (∵鳳・テブナンの定理)
=\frac{E}{2R~+~\frac{3}{2}R}
=\frac{2E}{7R} ◇

[問]次の回路において、コンデンサに流れる電流を求めよ。

[解答]

1:a-b間の開放電圧\dot{V}_0を求める。

\dot{V}_0
=\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1~+~\dot{Z}_2}~\dot{E} (∵\dot{V}_0は、コンデンサ\dot{Z}_3を接続していない状態での抵抗\dot{Z}_2にかかる電圧に等しいので、分圧の法則を用いる)
=\frac{4}{4+j2}~5
=\frac{4(4-j2)}{(4+j2)(4-j2)}~5 (∵分母の有理化)
=\frac{4(4-j2)}{16+4}~5 (∵j2=-1)
=4-j2

2:回路の電源を0(短絡)としたときの端子a-bから見た回路のインピーダンス\dot{Z}_0を求める。

\dot{Z}_0
=\frac{1}{\frac{1}{\dot{Z}_1}+\frac{1}{\dot{Z}_2}}
=\frac{\dot{Z}_1~\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1~+~\dot{Z}_2}
=\frac{(j2)(4)}{2j+4}
=\frac{j8}{4+2j}
=\frac{j8(4-2j)}{(4+2j)(4-2j)} (∵分母の有理化)
=\frac{j8(4-2j)}{16+4} (∵j2=-1)
=\frac{4+j8}{5}

3:鳳・テブナンの定理より、コンデンサ\dot{Z}_3に流れる電流は、次の等価回路を考え、次のように計算できる。

\dot{I}
=\frac{\dot{V}_0}{\dot{Z}_0~+~\dot{Z}_3}
=\frac{4-j2}{\frac{4+j8}{5}~-~j}
=2-j4 ◇

[問]次の回路のAB間の電流Iを求めよ。

【電験3種】

[解答]

1:AB間を接続する前のAB間の電圧VABは、点Aと点Bの電位差で求められる。

V_{AB}
=V_A~-~V_B
=\frac{R_3}{R_1~+~R_3}~E~-~\frac{R_4}{R_2~+~R_4}~E (∵分圧の法則より、V_A=\frac{R_3}{R_1~+~R_3}~E,~V_B=\frac{R_4}{R_2~+~R_4}~E
=(\frac{3}{4}~-~\frac{4}{6})255
=\frac{255}{12}~\,~\[V\]

2:AB開放端から見た合成抵抗RABは、次のように求められる。
 このとき、回路網中の電圧源は短絡させる。

R_{AB}
=\frac{R_1~R_3}{R_1~+~R_3}~+~\frac{R_2~R_4}{R_2~+~R_4}
=\frac{3}{4}~+~\frac{8}{6}
=\frac{25}{12}~\,~\[\Omega\]

3:鳳・テブナンの定理より、電流は次のように求められる。

I
=\frac{V_{AB}}{R_{AB}+R_{5}}
=\frac{\frac{255}{12}}{\frac{25}{12}~+~5}
=\frac{255}{25+60}
=\frac{255}{85}
=3~\,~\[A\] ◇

参考文献

  • 『図解 はじめて学ぶ電気回路』