[例]√2が無理数であることを示す。
[証明]素因数分解の一意性を使って証明するのが普通。
[別証]数√2が無理数であることを示すには、次の方程式が自然数を持たないことを示せばよい。
x2=2y2 ←(*)
なぜならば、自然数x,yが(*)を満たすことはx/y=√2が成り立つことと同じであるからである。
ここでは2を法として考える。2を法として、x,yのすべての組み合わせにたいして、2を法とするx2と2y{2};の値を計算すると、次の表が得られる。
| x | y | x2 | 2y2 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | × |
| 1 | 1 | 1 | 0 | × |
x2≡2y2 (mod 2)が成り立たないところに×を書いた。
すると、xが奇数の場合、即ちx≡1 (mod 2)の場合、いずれも×になっている。つまり、(*)を満たすxは偶数でなければならない。そこで、x=2x1(x1は整数)と置く。
これを(*)に代入すると、22x12=2y2となる。
2x12=y2
これは(*)でx,yをそれぞれy,x1で置き換えたものと同じである。
そこで、yに対して上記と同じ議論をすると、yが偶数でなければならない。
よって、y=2y1(y1は整数)と置けて、そうすると22y12=2x12となる。つまり、x12=2y12であるが、これはまた(*)と同じ形をしているので、上記と同じ議論が適用できる。
このように、同じ議論を繰り返すと、xとyが何回も2で割れなくてはならないことになる。しかし、それは不可能である。
(*)に自然数解があるという仮定から矛盾が導かれなかったので、解が存在しないことが証明された。 □
