[命題]整数xが3|x2を満たすなら、3|xである。
[証明]3を法としてxは0,1,2のどれかに合同である。
x≡1,2ならx2≡1 (mod 3)となるので、x2は3で割り切れない。
したがって、3|x2となるためには、x≡0 (mod 3)でなくてはならない。つまり、3|xが成り立つ。 □
[例]円X2+Y2=3上には有理点はないことを証明せよ。
[証明]背理法で行う。そのために、次の等式を満たす有理点(X,Y)が存在すると仮定する。
X2+Y2=3 ←(*)
XとYは有理数なので、整数x,y,zによって、次のように表せる。
X=x/z,Y=y/z ←(**)
このとき、さらにx,y,zの中には3で割り切れないものがあると仮定してよい。なぜならば、3つとも3で割り切れたら、x,y,zをx/3,y/3,z/3で置き換えても、(**)が成り立つからである。
X,Yが(*)を満たすので、整数x,y,zは次の方程式を満たす。
x2+y2=3z2 ←(***)
ここで、もしxが3で割り切れるとすると、(***)でx2と3z2が3で割り切れるので、3|y2でなくてはならない。すると、3|yとなる（∵[命題]「整数xが3|x2を満たすなら、3|xである」より）。これで、x,yが両方とも3で割り切れることになったので、(***)の左辺は32で割り切れる。そうすると32|3z2であるので、3|z2である。すると、(***)によって、3|zということがわかる。結局、x,y,zが全部3で割り切れることになってしまうが、これはx,y,zの中には3で割り切れないものがあるという仮定に反する。
したがって、xは3で割り切れない。
x,yの役割を入れ替えて上記と同じ議論をすると、yも3で割り切れないことになる。
ゆえに、x,yは共に3で割り切れない。
ここで、(***)を3を法として考える。x,yは共に3で割り切れないので、x,y≡1,2 (mod 3)である。
よって、x2,y2≡1 (mod 3)となるので、x2+y2≡2 (mod 3)である。
これに(***)を代入すると、3z2≡2 (mod 3)となる。しかし、3z2≡0 (mod 3)であるため、これは矛盾する。
したがって、X2+Y2=3という円上に有理点があるという仮定から矛盾が導けたので、命題が証明された。 □
次の方程式の有理点を無限個求める方法について考察する。
Y2=X3-2X ←(*)
この曲線上には、座標が整数である点がすぐに発見できる。この整数点は有理点である。具体的には、(X,Y)=(-1,±1),(2,±2)などがそうである。
1つの有理点(X0,Y0)から別の有理点(X1,Y1)を見つける方法を考える。もしこの方法が確立すれば、無限個の有理点を見つけることができる。ただし、有理点をすべて求められるとは限らない。
まず、(X0,Y0)は曲線(*)上の点なので、が成り立つ。
(*)の両辺をXで微分すると、となるので、Y≠0のときに次が成り立つ。
←(**)
(**)によって、点(X0,Y0)での曲線(*)の接線の傾きは、なので、点(X0,Y0)での(*)の接線の方程式は次のようになる。
←(***)
点(X1,Y1)は上記の直線(***)上の点だえるため、次が成り立つ。
点(X1,Y1)は曲線(*)と(***)との交点なので、(X1,Y1)を求めるために(***)を(*)に代入すると、次のようになる。
（∵上記の左辺の第3項までを移行した計算した）
（∵X1はX=X0以外の解であるから）
これでX1がX0を使って表せた。あとは、Y1の値が求められる。
以上により、点(X0,Y0)を使って、点(X1,Y1)を表す式が求められた。
