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連分数

目次 †

はじめに †

　ユークリッドの互除法により、自然数a,bに対して次が成り立つ。

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• 　⇒　
• 　⇒　
• …
• 　⇒　
• rn-1=rnqn+1　⇒　rn-1/rn=qn+1

　各々の式で行っているのは、分数の分子ri-1を分母riで割り算して、それを整数部分qi+1と1より小さい非負の有理数部分ri+1/riに分け、有理数部分が0でなければその逆数を取るという操作である。
　ただし、r-1=a、r0=bとする。

　よって、有理数a/bは次のように変形できる。

連分数 †

[定義]有理数a/bを上の形の式に表すことを、a/bを連分数展開するという。
この形の式を連分数という。
連分数は次のようにも表記できる（紙面節約、簡略化のため）。

a/b=[q1 ; q2,q3,…,qn,qn+1]

有限連分数と無限連分数 †

有理数の連分数展開 †

[定義]連分数展開したときに有限の項で止まるものを有限連分数と呼ぶ。そうではないものを無限連分数という。

[定理]有理数と有限連分数の関係
(1)有理数の連分数は有限連分数である。
(2)有限連分数は有理数である。

[証明]

(1)ユークリッドの互除法が有限回のステップで終了するため。

(2)有限連分数は通常の分数の形に変形できるので、明らかに有理数である。　□

無理数の連分数展開 †

[系]無理数と無限連分数の関係
(1)無理数の連分数は無限連分数である。
(2)無限連分数は無理数である。

[証明]有理数と無限連分数の関係の定理に対して、対偶を取った。　□

実数の連分数展開 †

循環する連分数 †

例：√2=[1;2,2,2,…]

例：√3=[1;1,2,1,2,…]

例：とする（比φ:1は黄金比と呼ばれる）。

φ=[1;1,1,1,…]

[定義]何個かの項がまとまって繰り返す連分数のことを循環連分数といい、繰り返す最小の部分を循環節、その桁数を周期という。

[定義]最初の項から循環するものを純循環連分数といい、そうではない循環連分数を混循環連分数という。
ただし、初項は意味が少ないので、第1部分商から循環するものも純循環連分数という。

[定理]ラグランジュ
実数xに対して、xが循環連分数に展開されることと、xが2次の無理数であることは同値である。

[問題]a：自然数、x：正の数とする。このときx=[a;a,a,…]を満たすxを求めよ。

循環しない連分数 †

例：π=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,…]

　以上のように、規則が見つからない連分数である。　◇

例：e=[1;1,2,1,1,4,1,1,6,…]

　eは規則正しい連分数である。　◇

[定義]分子が1ではない、連分数を単純連分数という。また、そうではない連分数は単純でない連分数という。

参考文献 †

• 『数論入門』
• 『工科系のための初等整数論入門　公開鍵暗号をめざして』