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3つの平方数の和

 3つの平方数の和を考える。つまり、自然数nについて、方程式n=x2+y2+z2(x,y,zは整数)に解があるかどうかを考察する。

[例]n=7のとき、次を満たす整数x,y,zは存在しないことを示す。

7=x2+y2+z2 ←(*)

x,y,zのどれかが負であれば、符号を変えればよいので(x2=(-x)2)、x,y,zは負でないとしてよい。
また、x,y,zの順番を変えても一般性は失われない。よって、0≦x≦y≦zであるとする。

さて、z≧3であると、z2≧9>7=nであり、(*)は成り立たないので、z≦2である。

[1]z=2のとき、3=x2+y2となるが、これを満たす整数x,yが存在しないことはすぐにわかる。

[2]z≦1のとき、(*)によって、x2+y2+z2≦12+12+12=3となるので、この場合も(*)は成り立たない。

したがって、[1][2]により、(*)を満たす整数x,y,zは存在しない。 ◇

[定理](ディオフォントス)
8n+7の形の自然数は、3つの平方数の和で書けない。

[証明]nが3つの平方数の和x2+y2+z2のように表せたと仮定する。

ここで、[命題]「x:整数とする。x2≡0 or 1 or 4 (mod 8)」より、x2,y2,z2は8を法として0,1,4のどれかに合同である。

しかし、0,1,4から(重複を許して)どのように3つ選んでも、その3つの和が8を法として7に合同になることはない。

これは仮定に反する。よって、nが3つの平方数の和とならないことが示された。 □

[別証](4n)^2~\equiv~0,~(4n+1)^2~\equiv~1,~(4n+2)^2~\equiv~4,~(4n-1)^2~\equiv~1~\,~\pmod{8}なので、いかなる平方数も8を法として、0,1,4のいずれかに合同である。

よって、3つの平方数の和は8を法として、0,1,2,3,4,5,6のいずれかであり、7にはなることはない。 □

[補講]ディオフォントスは『数論』の第5巻の問題11で、この結果を書いている。 ◇

[定理](E.ランダオ)
自然数mが3つの平方数の和になるための必要条件は、4k(8n+7)の形をしていないことである。

参考文献

  • 『算数からはじめよう!数論』
  • 『なっとくするオイラーとフェルマー』