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*目次 [#id2dd0a2]

#contents


*2つの平方数の和 [#j7a2a902]

#divid(s,thorem)
[定理][[自然数]]nが2つの平方数の和となるための必要十分条件は、n=nSUB{1};SUP{2};nSUB{2};(nSUB{2};は4を法として、3と合同な素因数を持たない)と表せることである。~
ただし、nSUB{1};,nSUB{2};は自然数である。
#divid(e,thorem)

#divid(s,proof)
[証明]まず、[[ウィルソンの定理]]「(p-1)!≡-1 (mod p)」が成り立つことを使う。

次に、[定理]「pが1型の素数ならば、xSUP{2};≡-1を満たす整数xが存在する」という事実を使う。

また、「pが1型の素数ならば、p=xSUP{2};+ySUP{2};と表せる」かつ「a,bを2つの平方数の和とすれば、abは2つの平方数の和である」が成り立つので、n=nSUB{1};SUP{2};nSUB{2};でnSUB{2};は4を法として3に合同な素因数を持たないならば、nは2つの平方数の和で表される。

「pが3型の素数ならば、xSUP{2};≡-1 (mod p)を満たす整数xは存在しない」(これは[[元の位数]]の性質と[[フェルマーの小定理]]より証明できる)が成り立つので、n=nSUB{1};SUP{2};nSUB{2};(nSUB{2};は4を法として3に合同な素因数を持たない)を表せないならば、nは2つの平方数の和ではない。 □
#divid(e,proof)

#divid(s,notice)
[例]n=90に上記の定理を適用する。

90=2×3SUP{2};×5なので、nSUB{1};=3,nSUB{2};=2×5とすれば、n=nSUB{1};SUP{2};nSUB{2};が成り立つ。

よって、90は2つの平方数の和となるとわかる。

実際には90=3SUP{2};+9SUP{2};が成り立つ。 ◇
#divid(e,notice)

#divid(s,thorem)
[命題]自然数aとbが両方とも2つの平方数の和であるなら、積abも2つの平方数の和である。
#divid(e,thorem)

*参考文献 [#ie559848]

-『算数からはじめよう!数論』