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*3つの平方数の和 [#h1fbb617]

 3つの平方数の和を考える。つまり、自然数nについて、方程式n=xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2};(x,y,zは整数)に解があるかどうかを考察する。

[例]n=7のとき、次を満たす整数x,y,zは存在しないことを示す。

7=xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2}; ←(*)

x,y,zのどれかが負であれば、符号を変えればよいので(xSUP{2};=(-x)SUP{2};)、x,y,zは負でないとしてよい。~
また、x,y,zの順番を変えても一般性は失われない。よって、0≦x≦y≦zであるとする。

さて、z≧3であると、zSUP{2};≧9>7=nであり、(*)は成り立たないので、z≦2である。

[1]z=2のとき、3=xSUP{2};+ySUP{2};となるが、これを満たす整数x,yが存在しないことはすぐにわかる。

[2]z≦1のとき、(*)によって、xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2};≦1SUP{2};+1SUP{2};+1SUP{2};=3となるので、この場合も(*)は成り立たない。

したがって、[1][2]により、(*)を満たす整数x,y,zは存在しない。 □

[定理]自然数nが次を満たすならば、解を持たない。

n≡7 (mod 8) ←(*)

[証明](*)を満たすnが3つの平方数の和xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2};のように表せたと仮定する。

ここで、[命題]「x:整数とする。xSUP{2};≡0 or 1 or 4 (mod 8)」より、xSUP{2};,ySUP{2};,zSUP{2};は8を法として0,1,4のどれかに合同である。

しかし、0,1,4から(重複を許して)どのように3つ選んでも、その3つの和が8を法として7に合同になることはない。

これは仮定に反する。よって、nが3つの平方数の和とならないことが示された。 □


*参考文献 [#u413c83c]

-『算数からはじめよう!数論』