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*目次 [#i5243ce0]

#contents


*剰余類 [#k3b3f571]

 [[剰余類]]に加法と乗法を定義すると、剰余環を定義できる。

[定義]剰余環~
(Z/mZ,+,・)は、mod mの剰余環と呼ばれる。ここで、単位元は1+mZとなる。

 剰余環は除算ができない。除算を定義可能にするには、体が必要になる。ここで、除算は乗算の逆元で定義可能である。剰余環が逆元を持てば、''可逆''と呼ばれる。そして、可逆な要素を''単数(unit)''と呼ばれる。

 剰余類a+mZがZ/mZで可逆であることは、合同式が解を持つことと同値である。

[定理]~
「剰余類a+mZがZ/mZで可逆である」~
⇔「GCD(a,m)=1」


*既約剰余類 [#q1cdd008]

[定義]既約剰余類~
GCD(a,m)=1である剰余類a+mZは、mod mの''既約剰余類''といわれる。

[定理]~
剰余類Z/mZは、mが素数のときのみ体である。

[証明]Z/mZは、1≦k<mを満足するすべてのkについてGCD(k,m)=1であるときのみ体である。この条件はmが素数であることを意味している。 □


*既約剰余類群 [#pa9239a0]

**既約剰余類群と巡回群 [#o197a9af]

 既約剰余類群&mimetex("\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} (:= \mathbb{Z}_n)");は乗法巡回群である。

例:&mimetex("{\mathbb{Z}_4}^{*}=\{ A_1,A_3 \}");とし、&mimetex("({\mathbb{Z}_4}^{*};\times)");が加法巡回群であることを調べる。
例:&mimetex("{\mathbb{Z}_4}^{*}=\{ A_1,A_3 \}");とし、&mimetex("({\mathbb{Z}_4}^{*};\times)");が乗法巡回群であることを調べる。

 単位元は&mimetex("A_1");である。

-&mimetex("{A_1}^1=A_1");
-&mimetex("{A_3}^1=A_3,\; {A_3}^2=A_3 \times A_3=A_9=A_1");

より、&mimetex("({\mathbb{Z}_4}^{*};\times)");は&mimetex("A_3");を生成元とする巡回群である。 ◇