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*群の準同型定理 [#nc5f4972]
*群準同型定理 [#nc5f4972]

#divid(s,thorem)
[定理]GSUB{1};,GSUB{2};を共に群とし、f:GSUB{1};→GSUB{2};を[[準同型写像]]とする。~
このとき、fの核Ker(f)は、GSUB{1};の[[正規部分群]]で、[[商群]]GSUB{1};/Ker(f)はfの像f(GSUB{1};)に同型である。

&mimetex("G_1 / \mathbb{Ker} f \conq f(G_1)");
#divid(e,thorem)

 簡単のために、Ker(f)=Kとおくと、次が成り立つ。

&mimetex("G_1 / K \conq f(G_1)");

 そこで、写像&mimetex("\bar{f}:G_1 / K \rightarrow f(G_1)");を、&mimetex("\bar{f}(xK) = f(x) \, (\in f(G_1))");で定義する。~
 準同型写像を示すには、この ̄fが同型写像であることを確かめればよい。

 写像 ̄fの定義は、[[剰余類]]xKの代表元xの取り方によらない。

 x以外の代表元yを取ったとする。即ち、xK=yKとする。~
 そうすると、yはxKの元であるため、y=xk, k∈Kと書ける。
 そのため、次が成り立つ。

f(y)~
=f(xk) (∵y=xk)~
=f(x)f(k) (∵fは準同型写像だから)~
=f(x)eSUB{2}; (∵Kはfの核だからf(k)=eSUB{2};)~
=f(x)

 これで、「xK=yK」⇒「f(x)=f(y)」がいえる。

#divid(s,proof)
[証明]

[1] ̄fは準同型写像であることを示す

- ̄f( (xK)(x'K))= ̄f(xx'K)=f(xx')
- ̄f(xK) ̄f(x'K)=f(x)f(x')=f(xx')

よって、 ̄f( (xK)(x'K))= ̄f(xK) ̄f(x'K)が成り立つため、 ̄fは準同型写像である。

[2]GSUB{1};/Kの異なる元が ̄fによって同じ元に移されることはないことを示す

「 ̄f(xK)= ̄f(x'K)」⇒「xK=x'K」を示せばよい。

 ̄f(xK)= ̄f(x'K)~
f(x)=f(x')~
(f(x))SUP{-1};f(x')=eSUB{2};~
f(xSUP{-1};)f(x')=eSUB{2}; (∵fが準同型写像であれば、逆元は逆元に移すため)~
f(xSUP{-1};x')=eSUB{2}; (∵fは準同型写像であるから)~
f(k)=eSUB{2}; (∵k=xSUP{-1};x'とおいた)~
k∈Ker(f)=K

一方、

k=xSUP{-1};x'~
xk=xxSUP{1};x' (∵左からxを掛けた)~
xk=eSUB{1};x' (∵xxSUP{1};=eSUB{1};)~
xk=x'

よって、x'K=xKが成り立つ。

[3]f(GSUB{1};)の元はすべて ̄f(x) (x∈GSUB{1}/K;)の形に表されることを示す

f(GSUB{1};)の元はf(x) (x∈GSUB{1};)の形に書けるので、f(x)= ̄f(xK)となるから、f(GSUB{1};)の元がすべて ̄f(○)の形に表せる。

したがって、[1][2][3]より、 ̄fは同型写像であることが成り立つ。 □
#divid(e,proof)


*参考文献 [#r4f50521]

-『群論なんかこわくない』