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  • 小数展開 へ行く。

*pが素数のときの1/pの小数展開 [#o93f6faf]

 p=2と5以外の素数のとき、1/pを小数で表したものは循環小数となることがわかっている。このことは、[[ユークリッドの互除法]]や[[合同式]]と深く関わっている。

 以下、素数pが与えられたとして考える。ただし、p≠2,5とする。このとき、1/pを小数で表したとき循環小数になったとして、その循環節の長さについて考察する。

 具体的に、循環節の長さをdとして、&mimetex("\frac{1}{p} = 0.{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}{a_{d+1}}\cdots{d-1}{a_d}\cdots");となったとする。

 この式の両辺に10SUP{d};を掛けると、次が得られる。

&mimetex("\frac{10^d}{p} = {a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}.{a_{d+1}}\cdots{d-1}{a_d}\cdots");

 これらの差分を取ると、次が得られる。

&mimetex("\frac{10^d - 1}{p}={a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}");

 右辺は整数なので、左辺の&mimetex("\frac{10^d - 1}{p}");も整数である。これは10SUP{d};-1がpで割り切れることを意味し、次のように表記できる。

10SUP{d};≡1 (mod p) ←(*)

 以上により、1/pの循環節の長さがdであれば、(*)が成り立つことがわかった。

 逆に、(*)が成り立つときには、1/pが長さdの循環節を持つ循環小数として表されることを示す。

 (*)が成り立つときは、&mimetex("\frac{10^d - 1}{p}");は整数なので、それを&mimetex("{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}");のように表す。

&mimetex("\frac{1}{p}");~
&mimetex("=\frac{10^d - 1}{p} \times {a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}");~
&mimetex("=\frac{\frac{1}{10^d}}{1-\frac{1}{10^d}} \times {a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}");~
&mimetex("=(\frac{1}{10^d} + \frac{1}{10^{2d}} + \frac{1}{10^{3d}} + \cdots) \times {a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}");~
&mimetex("=\frac{{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}}{10^d}+ \frac{{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}}{10^{2d}}+ \frac{{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}}{10^{3d}}+ \cdots");~
&mimetex("=0.{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}{a_{d+1}}\cdots{d-1}{a_d}\cdots");

[例]p=7のときに、上記の変形を行う。

p=7のとき、d=6である(∵1/7=0.142857 142857 142857…)。

10SUP{6};-1=999999が7dで割り切れる。

&mimetex("\frac{10^6-1}{7}=142857");なので、&mimetex("\frac{1}{7}= \frac{142857}{10^6-1}");となる。

ここで、&mimetex("\frac{1}{10^6}=0.000001");であることを使うと、次が得られる。

&mimetex("\frac{1}{10^6-1}");~
&mimetex("=\frac{\frac{1}{10^6}}{1-\frac{1}{10^6}}");~
&mimetex("=\frac{0.000001}{1-0.000001}");~
&mimetex("=0.000001+(0.000001)^2+(0.000001)^3+ \cdots");~
&mimetex("=0.000001 \, 000001 \, 000001 \cdots");

この等式の両辺に142857を掛ければ、1/7の小数表示が得られる。 ◇

[例]1/97の小数展開は長さ96の循環節を持つことを確かめる。そのためには、97を法とする10の位数が96であること、即ち&mimetex("ord_{97}(10)=96");であることを示せばよい。

φ(97)=96より、&mimetex("ord_{97}(10)|96");であることがわかる。なぜならば、[命題]「(a,m)=1とし、d=ordSUB{m};(a)と置く。整数kについて、aSUP{k};≡1 (mod m)となるための必要十分条件は、d|kである。」が成り立つからである。

一方、96の約数は1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96である。これらの数での10のべき乗を97を法として計算すれば次のようになる。

|10^1||10^2|10^3|10^4|10^6|10^8|10^12|10^16|10^24|10^32|10^48|10^96|
|10^1|10^2|10^3|10^4|10^6|10^8|10^12|10^16|10^24|10^32|10^48|10^96|
|10|3|30|9|27|81|50|62|75|61|96|1|

10SUP{96};以外は1に合同ではないので、10の位数は96であることがわかる。 ◇

*参考文献 [#g75f3151]

-『算数からはじめよう!数論』