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*目次 [#gfd5bf93]

#contents


*部分群 [#dc60c30e]

#divid(s,thorem)
[定義]部分群~
&mimetex("(G, \circ)");は群であるとする。~
Gの部分集合G'がGと同じ演算&mimetex("\circ");に関して群になっているとき、&mimetex("(G',\circ)");あるいは単にG'は''Gの部分群(subgroup)''であるという[1]。
#divid(e,thorem)

 ここで、GとG'の演算が同じということが大切である。単に同じ記号の演算を使っているだけではなく、G'において&mimetex("a \circ b = c");であるとするのは、Gにおいてすでに&mimetex("a \circ b =c");となっているときである。

#divid(s,notice)
例1:群Gにおいて、{e}(単位元のみの部分集合)とG(G自身)は部分群である。

どのような群においても成り立つので、この2つは''自明な部分群''と呼ばれる。
#divid(e,notice)

#divid(s,notice)
例2:群(Z,+)に対して、({3x|x∈Z},+)は部分群である。
#divid(e,notice)

#divid(s,notice)
例3:群&mimetex("(G, \circ)");に部分群&mimetex("(G_1, \circ)");と&mimetex("(G_2, \circ)");があるとき、&mimetex("(G_1 \cap G_2, \circ)");はGの部分群である。

 しかし、&mimetex("(G_1 \cup G_2, \circ)");はGの部分群とは限らない。
#divid(e,notice)


*部分集合の判定条件 [#hd045d24]

#divid(s,thorem)
[定義]群Gの空でない部分集合SがGの部分群である必要十分条件は次の条件のうちの1つを満足することである[1]。~
(i)&mimetex("\forall x,y \in S; x \circ y^{-1} \in S");~
(ii)&mimetex("\forall x,y \in S; x^{-1} \circ y \in S");
#divid(e,thorem)


*参考文献 [#gdcf556f]

-[1]『情報科学のための代数系入門』4章:群 §3:群からの群構成法 pp.57-67