[定理]a≡b (mod m)ならば、任意の整数係数の多項式f(x)に対して、次が成り立つ。
f(a)≡f(b) (mod m)
[定理]ラグランジュの定理
素数pを法とするn次方程式（n≦p-1）の異なる解は、高々n個である。
解が存在しないこともありえる。
ここで言う「異なる解」とは、法pに関して異なる解という意味である。
[問題]を解け。
[解]
（∵係数を法5で還元する）
（∵フェルマーの小定理より、
）
これについて解くために、xに0,1,2,3,4を代入して調べる。
その結果、x≡1 (mod 5)が適することがわかる。 ◇
奇素数pを法とする2次方程式について考えてみる。
x2の係数が1と仮定しても一般性を失わない。なぜならば、法pに関して逆元を両辺に掛ければ、x2の係数を1に変形できるからである。
[定理]a,bが共に奇数のとき、2次方程式には解がない。
もし、a,bの少なくとも一方が偶数ならば、その項は法2に関して0と合同となる。
[1]ax≡0の場合
(i)&mimetex("b \not{\equiv} 0")のとき、合同式は自明な解として1を持つ。
(ii)b≡0のとき、合同式は自明な解として0を持つ。
[2]b≡0の場合、合同式は自明な解として0を持つ。
この2次合同式において、もしaが奇数ならば、pを奇素数として、合同式を次のように修正できる。
（∵xの係数は偶数であると仮定しても一般性を失わないから）
ゆえに、2次合同式の問題は、奇素数pに対して、次の合同式を解く問題に帰着させられる。
なお、この合同式が解を持つとき、aは法pの平方剰余であるという。また、解を持たないとき、aは法pの非平方剰余であるという。
