ミジンコでもわかる小数表現

2024年6月18日

固定小数点数 vs. 浮動小数点数

固定小数点数

固定小数点数（fixed point number）とは、有理数の表現方法の1つであり、小数点が置かれる桁を固定して表された数のことです。

浮動小数点数

浮動小数点数（floating point number）とは、有理数の表現方法の1つであり、次の形式で表現される数です。

$$a \times b^e$$

ここで、aは仮数（mantissa）、bは基数（cardinal number）、eは指数（exponent）と呼ばれます。

それぞれの例

• 固有小数点表示：0.0025
• 浮動小数点表示：0.25×10^-2
  • 上記の例では、仮数a=0.25、基数b=10、指数e=-2である。

浮動小数点数の正規化

ある数があったとします。このとき浮動小数点表示の形式が決まっていた場合、いくつかの表現方法があります。

例えば、固有小数点表示で「0.0025」と表現できる数値を、浮動小数点表示すると次のように書き換えられます。

• 0.025×10^-1
• 0.25×10^-2
• 2.5×10^-3

いずれも同じ値であることに着目してください。

しかし、浮動小数点数の表示形式における仮数部の先頭を0で埋めてしまうと、仮数で表現できる桁数が減ってしまいます。

そこで「0.XY…」のような形^[1]「X.Y…」のタイプもあります。にしたほうが、表現できる数が増えてよいといえます。

この変換操作を正規化といいます。

つまり、正規化とは、仮数が定められた範囲内に入るように、指数と仮数を調整することです。

よく登場する浮動小数点表示

16ビットを浮動小数点数にすると、表示形式は次のようになります。

• S：仮数部の符号（正は0,負は1）
• E：2のべき乗の指数部。負数は2の補数。
• M：仮数部の絶対値
• 正規化は0.1X…

[例]10進数の「0.375」（＝2進数で「0.011」）をこの形式で浮動小数点表示して、正規化すると、次のような16ビット列になります。

IEEE 754の浮動小数点表示

IEEE 754では、$(-1)^{S} \times 1.M \times 2^{e+M}$という形式で有理数を符号化します。

$1.M$は2進数の小数点数表記になります。

たとえば、2進数の1.101bは、10進数の1.625（＝1＋1/2＋1/8）と等しくなります。

Sは符号を表し、S=0なら正の数、S=1なら負の数になります。

Mは次の定数です。

• 32ビット浮動小数点数の場合は、M=127
• 64ビット浮動小数点数の場合は、M=1023

ここでは、32ビット浮動小数点数の表示形式は次のとおりです。

• 符号部：1ビット
• 指数部：8ビット
• 仮数部：23ビット

$$(-1)^{S} \times 1.M \times 2^{E}$$

$$(-1)^{S} \times 1.M \times 2^{e+127}$$

• S：仮数部の符号（正は0,負は1）
• E：2のべき乗の指数部に関係する値。指数Eはe+127と一致する。
• M：仮数部の絶対値
• 正規化は1.X…

[例]-0.15626（＝-(1/8+1/32)）＝-0.00101b=-1.01×2^-3をIEEE 745形式で32ビット浮動小数点表示してみます。

• 負の数なので、符号S=1b
• 指数Eは、E=e+127=-3+127=124=0111 1100b
• 仮数Mは、M=010 0000 0000 0000 0000 0000b

よって、次のような32ビット列になります。

指数が255の場合

[1]「指数が255」かつ「仮数が0」のとき、無限大を表します。

0以外の数値を0で割ると無限大となります。

[2]「指数が255」かつ「仮数が0以外」のとき、数値ではないことを意味するNaN（Not a Number）を表します。

0を0で割るとNaNになります。