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補数

目次 †

補数 †

10進数の世界の補数 †

　コンピュータでは、引き算は足し算で行われる。そのために、補数という数を使う。また、マイナスの数を表すときも補数を使う。

　補数とは文字通り補う数のことである。補数を考えるときは桁数を事前に決めておく。例えば、300に700を補うとちょうど1000になる。つまり、桁数を3桁と決めておけば、300の（3桁の）補数とは700である。

　補数とは、補ってちょうど「100…」（…は0の連結を意味する）にする数と覚えておけばよい。

補数を使った引き算 †

　例えば700-400を考えてみる。普通に引き算をすれば300がわかる。ところが、コンピュータは補数を使って足し算で引き算の結果を求める。

1. 400の3桁の補数を求める。
   • 600である。なぜならば400に600を補えば1000になるから。
2. 700+600=1,300を計算してから、下3桁を抜き出すと「300」になる。
   • 普通の引き算の結果と一致していることがわかる。

　なぜ補数を足して桁数だけを抽出すると引き算の結果になるのかというと、次のような理由がある。

• 400の3桁の補数を計算するのに、1000-400をした。
• それと700の和は「700+(1000-400)=(700-400)+1000」となって、(700-400)に1000を足したものになる。
• よって、700-400を計算するには、700+(400の補数)として、下3桁だけを取り出せばよいのである。

補数を簡単に求めるうまい方法は？ †

　666の3桁の補数は334である。しかし、隣の桁から1を借りてくるので、ちょっと計算が大変である。そこで、999(=1000-1)から666を引くから、1を足すと楽である。333は、99…から引いているので9の補数と呼ばれる。この9の補数は本物の補数を求めるための数なので擬補数とも呼ぶ。そして最後に1を足した結果の334は、10の補数と呼ばれる。

2進数の世界の補数 †

　110の補数を求めたい。3桁の補数を考えると、補って1000となる数が110の補数であるので、1000-110で110の補数が求められる。しかし、これでは繰り下がりがあるので計算が面倒である。そこで、111を考えて、これから110を引き算する。その結果である001*1が1の補数である。この1の1の補数に1を足す。この結果が2の補数である。

　2進数の世界で補数を求めるときは引き算のところを、ビット反転と考えてよい。よって、101の補数を求めるときは、101をビット反転させて010（1の補数）を求めてから、1を足して011（2の補数）が計算できる。

まとめ †

　補数とは、与えられた数を定められた数から引くことによって得られる数のことである。「定められた数」には、基数のべき乗か、基数のべき乗より1少ない数を使う。

• 基数の補数：基数のべき乗から与えられた数Aを引いた数
  • 
• 基数-1の補数（減基数の補数）：基数のべき乗-1から与えられた数Aを引いた数
  • 

　一般にn進数には、「nの補数」と「n-1の補数」がある。

16進補数 †

　10進補数と同様の考え方で、16進補数を考えると、表現された数の先頭（MSD）が0なら正の整数を示し、Fなら負数を表すことになる。数学的な意味ではこれは正しい。

例：

• FF4A
  • MSDがFなので負数
  • 残りの「F4A」であり、これ以上の切りのよい16のべき乗は「FFF」である。よって、差を考えると「0B5」（=FFF-F4A）となる。
  • よって、FF4A＝−B5である。
• 002B
  • MSDが0なので正数
  • よって、002B＝＋2Bである。　◇

　ところが、16進数は2進数の代用表記法として一般的にコンピュータで用いられる。つまり、16進数を2進数に書き換えてMSDを考えれば、「1*** **** **** ****」はすべて負数になる。つまり、16進数表記のMSDが0〜7の場合が正の数、8〜Fの場合が負の数ということになる。このような考え方をした方が、16進数で表現できる正数の範囲が広いので、コンピュータではこのような仕組みで考える。

例：

• 8034
  • MSDが8なので負数
  • 16進数の「8084」を2進数で表すと「1000 0000 0011 0100」になる。すべての値を反転させると「0111 1111 1100 1011」になる。これに1を加えると「0111 1111 1100 1100」（2の補数）になる。これを16進数に戻すと「7FCC」になる。
  • よって、8034＝−7FCCである。
• 6B3
  • MSDが6なので正数

補数を使った負数の表現 †

　コンピュータ内部で補数を用いて負数を表現する場合、2の補数を用いる方法と1の補数を用いる方法がある。8ビットで数値を表現する固定小数点数において、2進数の値nに対して2の補数を求めるには「1 0000 0000 -n」、1の補数を求めるには「1111 1111 -n」を行うことになる。

例1：8ビットの1の補数方式で(-18)10を表現する。

1. 絶対値の2進数を求める。
   • 「-18」の絶対値は18だから、(18)10=(0001 0010)2
2. 8ビットであるため、28-1からステップ1の結果を引く。
   • 
     • 結果的には絶対値の反転をしたことになっている。
3. よって、(-18)10=(1110 1101)2　◇

例2：8ビットの2の補数方式で(-18)10を表現する。

1. 絶対値の2進数を求める。
   • 「-18」の絶対値は18だから、(18)10=(0001 0010)2
2. 8ビットであるため、28からステップ1の結果を引く。
   • 
     • 結果的には1の補数（絶対値の反転）に1を加えたことになっている。
3. よって、(-18)10=(1110 1110)2　◇

　次の表は4ビットの値を「符号と絶対値」「1の補数」「2の補数」での表した場合のものである。赤い部分は+0と-0の2種類が重複して存在している。そのため表現できる範囲が1つ分だけ少なくなってしまっている。その結果、もっとも効率がよいのは2の補数である。

表現できる整数の範囲 †

　符号を考えないとき、2進数nビットで表現できる数Nは次の通りである。

　一方、2の補数を負の数として表現すると考えると、ひとつ分のビットは符号ビットとして確保されてしまう。つまり、残りのn-1ビットで数が表すことになる。n-1ビットの総数は2n-1個である。
　符号ビットが0のときは正あるいは零なので、零からカウントして2n-1個なので、0〜2n-1-1まで表現できることになる。
　また、符号ビットが1のときは、-1からカウントして2n-1個の負の数を表現できるので、-1〜-2n-1まで表現できることになる。
　これをまとめると、2の補数を用いて負の数を表現すると、2進数nビットで表現できる数Nは次の通りであることがわかる。

[問題]負数には2の補数を用いる整数表現において、64ビットで表現できる最大の数は10進数で何桁か？ちなみに、log102=0.301である。

[解答]nビットで2の補数を用いて表現できる範囲は、-2n-1〜2n-1-1の範囲である。これから、最大値は2n-1-1になる。問題はこれが何桁になるかということである。n-1=64-1=63なので、263の値の桁数を調べればよい。よって、次のように計算できる。

　ゆえに、繰上げで考えて、19桁になる。

参考文献 †

• 『新電気ビギナーシリーズ　2色刷　絵ときディジタル回路入門早わかり』
• 『1週間で分かる基本情報技術者集中ゼミ【午前編】　2006春秋』
• 『ソフトウェア開発技術者　午前対策（基礎編）　テキスト』
• 『2000年度版　よく出るよく分かる第1種【午前】問題集』 『情報処理技術者試験　SUPER記憶術SERIES　まんがでわかる情報処理の基本　デジタル数学編』
• 『学習コンピュータ1978年4月号　ヘキサ表現（16進数）に強くなろう』