[定理]
Kを体として、多項式f,g∈K[x]が与えられているとする。このとき、次が成り立つ。
(1)∃h∈K[x] s.t. イデアルの等式(h)=(f,g)
(2)∃A,B∈K[x] s.t. h=Af+Bg
(3)h=GCD(f,g)
[証明]f=g=0のときには、h=0とすればよい。
以下、f,gのどちらかは0でないとする。
(1)イデアルI=(f,g)に含まれる0でない多項式で最小の次数のものをh(x)とする。
割り算をして、f=qh+r、deg(r)＜deg(h)となったとすると、r∈Iとなる。
また、hの取り方からr=0
よって、h|f
同様にして、h|g
したがって、f,g∈(h),h∈(f,g)となり、(h)=(f,g)となる。
(2)h∈(f,g)だから、h=Af+Bgを満たすA,B∈K[x]が存在する。
(3)h'をf,gの∀の公約元とすると(2)より、h'|hとなる。
よって、h=GCD(f,g) （Q.E.D.）
[定理]ユークリッドの互除法
Kを体とする。
多項式f,g∈K[x],g≠0の割り算をして、f=qg+rとなったとする。
このとき、GCD(f,g)=GCD(g,r)が成り立つ。
[定義]一意分解整域
整域Rが次の性質を満たすとき、Rは一意分解整域（Unique Factorization Domain：UFD)）であるという。
(1)0でも単元でもない任意の元a∈Rは既約分解を持つ。
即ち、有限個の既約元a1,…,arが存在して、a=a1…arと表される。
(2)上のような分解は順序と単元の積とを除いて一意的である。
即ち、既約元a1,…,arと既約元b1,…,brについて、a1…ar=b1…bsであれば、r=sであり、番号を付け替えればすべてのiについてbiとaiは同伴になる。
[定理]
一意分解整域Rの0でない元aは、の形に表される。
ここで、uは単元であり、各piは既約元であって、i≠jのとき、piとpjは同伴ではない。
[証明]既約分解に表れる同伴な既約元をまとめればよい。
[定理]
R：一意分解整域
a1,…,ar∈Rを0でない元とする。
このとき、∃GCD(a1,…,ar)および∃LCM(a1,…,ar)
[証明]
と表せる。
ここで、各uiは単元、指数eijは非負整数、各pjは既約元である。
i≠jのとき、piとpjは同伴ではない。
このとき、
とおけば、d=GCD(a1,…,ar)
とおけば、l=LCM(a1,…,ar) （Q.E.D.）
[系]
「GCD(a1,…,ar)=1」⇒「GCD(da1,…,dar)=d」
[定理]一意分解整域の既約元は素元である。
[証明]
a：既約元
a=bcとすると、
a|a ⇔a|bc ⇔bc=ad,∃d∈R ⇔b1…brc1…cs=ad1…dt （∵b,c,dを既約分解して、b=b1…br,c=c1…cs,d=d1…dt）
分解の一意性によって、aはbi,cjのどれかと同伴でなければならない。
このことから、a|b or a|c （Q.E.D.）
[考察]この事実から、一意分解整域は素元分解整域とも呼ばれる。
[定理]整域Rが次の性質を満たせば、一意分解整域である。
(1)0でも単元でもない元は既約分解を持つ。
(2)既約元は素元である。
[証明]分解の一意性を証明する。
Rの既約元a1,…,ar,b1,…,bsについて、等式a1…ar=b1…bsを仮定する。
ここで、r＜sとしても、一般性は失われない。
a1|b1…bsだから、あるbiが存在して、a1|biとなる。番号を付け替えて、i=1とする。
双方とも既約元なので、a1とbiは同伴。
よって、b1=u1a1,∃単元u1∈Rと書ける。
これを代入すると、次のようになる。
a1…ar=b1…bs
a1…ar=u1a1…bs
a2…ar=u1b2…bs
この操作を繰り返すことで、aiとbiは同伴。 （Q.E.D.）
