目次 †
基数変換 †
基数とは文字通り基本となる数、基礎となる数のことである。例えば、2進数の基数は2、10進数の基数は10である。いくつで桁が上がるかということが、基数で決定される。
基数変換とは基数を変換することである。数そのものの大きさは変化せずに、表記が変わる。どの進数で表現しても数値の大きさ自体は変わらない。2進数であれば機械にとって便利で、10進数や16進数であれば人間にとって便利になるわけである。つまり、その数を扱いたいモノ（機械や人間）のために、基数変換が行われる。
整数部 †
整数部と小数部で変換方法が違うので注意が必要。
2進数→10進数 †
2進数の各桁に2nの重み付けを行えばよい。
例：(101011.1101)2を10真数に変換する。
- 整数部は下位の桁から順に2の0乗、1乗、2乗、…の重み付け（乗算）を行い、小数部は上位の桁から順に2の-1乗、-2乗、…の重み付けを行う。
- 重み付けをした結果を加算する。
- よって、(101011.1101)2＝(43.8125)10
10進数→2進数 †
例：10進数43を2進数に変換する。
- (43)10を変換後の基数2で割り、商と余りを求める。
- ステップ1の商を基数2でさらに割り、商と余りを求める。これを商が0になるまで繰り返す。
- 除算の余りを計算とは逆の順番に並べる。
- 43÷2＝21 余り1
- 21÷2＝10 余り1
- 10÷2＝5 余り0
- 5÷2＝2 余り1
- 2÷2＝1 余り0
- 1÷2＝0 余り1
- よって、(43)10＝(101011)2
2進数→8進数 †
2進数の3桁は、8進数の1桁に対応していることが次の図からわかる。
| 2進数 | 8進数 |
| 000 | 0 |
| 001 | 1 |
| 010 | 2 |
| 011 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 10 |
例：(11010111)2を8進数で表してみる。
- まず右から3ビットずつ区切る。
- 「11」「010」「111」になる。「11」は2ビットだが、「011」だと考えてよい。
- それぞれを10進数に直す。
- それらをすべて並べれば、8進数「327」が得られる。
8進数→2進数 †
8進数の各桁の値を3ビットの2進数にして繋げばよい。
例：8進数の「75」を2進数で表す。
- 8進数の「75」を各桁で2進数に直す。
- (7)8＝(111)2、(5)8＝(101)2
- 2進数に変換して3桁に足りないときは、頭に0を追加して3桁に直しておく。
- 「111」「101」を繋ぐと、「111101」になる。
2進数→16進数 †
4桁に区切って、2進数の重みを掛けた数を足す。
例：
- 「1111 1111」＝「FF」
- 「1111 1111」を4桁に区切る。まず、前半の「1111」だけを考える。
~=~F_{\(~16~\)})
- よって、これが2つあるので、FFである。
16進数→2進数 †
16進数の各桁の値を4ビットの2進数にして繋げばよい。
例：16進数の「F7」を2進数で表す。
- (F)16＝(1111)2、(7)16＝(111)2
- (111)2は4桁にするために、頭に0を追加して(0111)2にしておく。
- 「1111」「0111」を繋ぐと、「11110111」になる。
小数部 †
10進小数→2進小数 †
整数部分と小数部分に分けて、整数部分は2で割っていき、小数部分は2を掛けていく。ここでは小数部分を解説する。
例1：10進小数0.8125を2進数に変換する。
- (0.8125)10に変換後の基数2を掛ける。
- ステップ1の乗算結果の小数部に基数2をさらに掛ける。これを小数部が0になるまで繰り返す。
- 乗算の結果、求められた整数部の値を計算した順に並べる。
- 0.8125×2＝1.625
- 0.625×2＝1.25
- 0.25×2＝0.5
- 0.5×2＝1.0
- よって、(0.8125)10=(0.1101)2
例2：10進小数7.625を2進数に変換する。
- 整数部と小数部に分ける。
- 整数部(7)10を2進数で表示すると(111)2になる。
- 小数部(0.625)10を2進数に変換するには次の通りに計算する。
- 小数部の「0.625」を2倍していく。
- 「0.625×2＝1.25」だから、2進小数の小数第1位は1（計算の1桁目に注意）。
- 「0.25×2＝0.5」（1.25から1を引いておく）だから、2進小数の小数第2位は0。
- 「0.5×2＝1.0」だから、2進小数の小数第3位は1。
- 2進数の小数部は(101)2となる。
- よって、(7.625)10＝(111.101)2
10進小数→n進小数 †
整数部分と小数部分に分けて、整数部分はnで割っていき、小数部分はnを掛けていく。基本的には「10進数→2進小数」と方法は同じ。
分数 †
n進分数→10進分数 †
基数変換のアルゴリズム †
10進数を2進数に変換するアルゴリズム †
まず偶数なら、2進数の一番下の桁が0になる。また、奇数なら1になる。これは2で割った余りなので当然である。次の桁を求めるには、その桁が一番下の桁になるようにすればよいのだから、元の数を2で割る。整数で計算するので、小数点以下は切り捨てる。その結果が奇数なら1、偶数なら0になる。割った結果が0になるまで、次々に2で割って奇数か偶数かで1か0を左（一番上の桁）から加えていく。
10進数を2進数に変換するアルゴリズムは次の通りである。
- Input：A（10進数の整数）
- Output：B（Aを2進数に変換した結果）
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| while A≧1 do
rem←A%2
if rem==1 then
Bの一番上の桁に1を追加
else
Bの一番上の桁に0を追加
A←A/2
return B
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Javaによる実装 †
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public class Dec2Bin {
public static void main(String[] args) {
int dec = 0; String numstr = "";
if(args.length != 1){
System.out.println("10進数を2進数に変換します。");
System.out.println("書式：Dec2Bin <10進数の値>");
return;
}
try{
dec = Integer.parseInt(args[0]);
}catch(NumberFormatException e){
System.out.println("10進数を入力してください。");
return;
}
int d=dec;
while(d>1){
int rem = d%2;
if(rem == 1){
numstr = "1" + numstr;
}else{
numstr = "0" + numstr;
}
d = d/2;
System.out.println("rem=" + rem + "\td=" + d + "\tnumstr=" + numstr);
}
System.out.println("10進数" + dec + "は2進数で" + numstr + "である。");
}
}
|
例：165という10進数を上記のプログラムの第1引数に指定して実行した結果
rem=1 d=82 numstr=1
rem=0 d=41 numstr=01
rem=1 d=20 numstr=101
rem=0 d=10 numstr=0101
rem=0 d=5 numstr=00101
rem=1 d=2 numstr=100101
rem=0 d=1 numstr=0100101
10進数165は2進数で0100101である。
10進数をn進数に変換するアルゴリズム †
10進数をn進数に変換するアルゴリズムは次の通りである。
- Input：A（10進数の整数）,N（基数。ただし、1≦N≦16の整数）
- Output：B（Aを2進数に変換した結果）
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| while A≧1 do
rem←A%N
if rem==0 then
Bの一番上の桁に0を追加
else if rem==1 then
Bの一番上の桁に1を追加
else if rem==2 then
Bの一番上の桁に2を追加
else if rem==3 then
Bの一番上の桁に3を追加
else if rem==4 then
Bの一番上の桁に4を追加
else if rem==5 then
Bの一番上の桁に5を追加
else if rem==6 then
Bの一番上の桁に6を追加
else if rem==7 then
Bの一番上の桁に7を追加
else if rem==8 then
Bの一番上の桁に8を追加
else if rem==9 then
Bの一番上の桁に9を追加
else if rem==10 then
Bの一番上の桁にAを追加
else if rem==11 then
Bの一番上の桁にBを追加
else if rem==12 then
Bの一番上の桁にCを追加
else if rem==13 then
Bの一番上の桁にDを追加
else if rem==14 then
Bの一番上の桁にEを追加
else
Bの一番上の桁にFを追加
A←A/N
return B
|
if文とelse if文の条件は余り（rem）を0からチェックしていった方が、トータルのチェック数が少ない。Nの基数に10を入力したときには、rem==10以降をなるべくチェックしないほうが効率よいからである。
アルゴリズム自体は上記で問題ないが、if文とelse if文が少しエレガントでない。プログラムにするときには、switch文を使って書いた方がすっきりする。
2進数を10進数に変換するアルゴリズム †
2進数の文字列を左から処理する方法と、右から処理する方法が考えられる。ここでは左（一番上の桁）から計算していく方法を解説する。求める10進数を0にしておき、その桁の数を足す。次の桁に行く前に、一桁上がるので2倍する。
2進数を10進数に変換するアルゴリズムは次の通りである。
- Input：A（2進数の整数）
- Output：B（Aを10進数に変換した結果）
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| for i=0,…,length(A) do
B←B*2
if (Aの上からi番目の数値)==1 then
B←B+1;
return B
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Javaによる実装 †
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public class Bin2Dec {
public static void main(String[] args) {
int dec=0;
if(args.length != 1){
System.out.println("2進数を10進数に変換します。");
System.out.println("書式：Bin2Dec <2進数の値>");
return;
}
String numstr=args[0];
for(int i=0;i<numstr.length();i++){
dec=dec*2;
if(numstr.charAt(i) == '1'){
dec+=1;
}else if(numstr.charAt(i) != '0'){
System.out.println("2進数ではありません。");
return;
}
System.out.println(i + "番目の数字：" + numstr.charAt(i) + "\t dec=" + dec);
}
System.out.println("2進数" + numstr + "は10進数で" + dec + "です。");
}
}
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演習問題 †
- 問：次の10進小数のうち、8進数に変換したときに有限小数になるものはどれか？
参考文献 †
- 『Eclipseによる体験学習 Javaではじめるアルゴリズム入門』
- 『ソフトウェア開発技術者 合格エッセンシャルハンドブック』
- 『ソフトウェア開発技術者 午前対策（基礎編） テキスト』
- 『情報処理技術者試験 SUPER記憶術SERIES まんがでわかる情報処理の基本 デジタル数学編』
