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誊肌 †

誊肌
ディオフォントスの冯蔡
4士数下
徊雇矢弗

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ディオフォントスの冯蔡 †

　ディオフォントスの∝眶侠≠の妈4船の啼玛29に、肌のような啼玛がある。これは附洛慎に木したものである。

[啼玛]涂えられた眶nに滦して、4つの眶x1,x2,x3,x4で $n~=~\sum_{i=1}^{4}~{x_i}^2~+~\sum_{i=1}^4~x_i$ となるものを斧烧けよ。

[豺批]n+1を肌のように鸥倡できる。

$n+1$
$=~\sum_{i=1}^{4}~{x_i}^2~+~\sum_{i=1}^4~x_i~+~1$
$=~\sum_{i=1}^{4}~({x_i}^2~+~x_i~+~\frac{1}{4})$
$=~\sum_{i=1}^{4}~(x_i~+~\frac{1}{2})^2$

办数、n+1を4つの士数眶 ${a_1}^2,~{a_2}^2,~{a_3}^2,~{a_4}^2$ の下として山し弥いて、肌のようにおけばよい。

$a_i~=~x_i~+~\frac{1}{2}$
$x_i~=~a_i~-~\frac{1}{2}$

ディオフォントスはn=12とした。

$n+1=12+1=13=4+9=((\frac{8}{5})^2~+~(\frac{6}{5})^2)~+~((\frac{12}{5})^2~+~(\frac{9}{5})^2)$

惧淡から、13を4つの铜妄眶の2捐の下に山して、笆布を评られる。

$x_1~=~\frac{8}{5}-\frac{1}{2}~=~\frac{11}{10}$
$x_2~=~\frac{6}{5}-\frac{1}{2}~=~\frac{7}{10}$
$x_3~=~\frac{12}{5}-\frac{1}{2}~=~\frac{19}{10}$
$x_4~=~\frac{9}{5}-\frac{1}{2}~=~\frac{13}{10}$

なお、惧淡のように13を4つの铜妄眶の2捐の下に尸豺する洛わりに、13=22+22+22+12と圭わせば肌の豺を评る。

$x_1~=~2~-~\frac{1}{2}~=~\frac{3}{2}$ $x_2~=~2~-~\frac{1}{2}~=~\frac{3}{2}$ $x_3~=~2~-~\frac{1}{2}~=~\frac{3}{2}$ $x_4~=~1~-~\frac{1}{2}~=~\frac{1}{2}$

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[输怪]ディオフォントスの∝眶侠≠の妈5船の啼玛14においても、涂えられた眶を4つの士数眶の下として今いている。　〓

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4士数下 †

[年妄]すべての极脸眶は4つの士数眶の下として山される。

ディオフォントスはこの年妄を碰脸であるかのごとく今いている。
バシェは325までの极脸眶を4士数下で今き、いかなる极脸眶でもそのように今けることを徒鳞した。
フェルマ〖はこの徒鳞の沮汤を评たが、これについては侍にきちんと今くつもりだという庙坚を荒したが、冯渡その沮汤は券山されなかった。
オイラ〖はすべての极脸眶が4つの铜妄眶の2捐の下であることまでは绩したが、窗链な豺批までは魂らなかった。
ラグランジュはオイラ〖の冯蔡を炮骆にして、1772钳に窗链に沮汤した。
その外钳に、オイラ〖はより词帽な沮汤を评た。
- オイラ〖がこの啼玛に介めて缄を烧けてから25钳稿のことである。

　士数眶に02も掐れて眶えている。もし、02が士数眶としないならば、≈4つの士数眶∽ということろを≈光」4つの士数眶∽と恃えなけらばならない。

[沮汤]∈オイラ〖∷

オイラ〖の贡霹及が喇り惟つため、4士数下の姥は4士数下になる。
稿は、すべての燎眶が4士数下になることを绩せばよい∈极脸眶は燎眶の姥であるため∷。

[1]燎眶2の眷圭、12+12+02+02と今ける。

[2]瘩眶の燎眶の眷圭

pを瘩眶の燎眶として、肌の2つの礁圭を雇える。

$S=~\{~0^2,1^2,2^2,3^2,\cdots,(\frac{p-1}{2})^2~\}$
$T=~\{~-1-0^2,-1-1^2,-1-2^2,-1-3^2,\cdots,-1-(\frac{p-1}{2})^2\}$

まず、Sに崔まれる2つの眶x2とy2が、pを恕として圭票とならないことを绩す。
ここで、x′yとしても办忍拉は己われない。
つまり、pを恕として圭票にならないなら、x2-y2=(x+y)(x-y)はpで充り磊れないことを绩す。

$0~\le~y~<~x~<~\frac{p-1}{2}$ だから、0°x+y,x-y″p-1である。
よって、x+yもx-yもpでは充り磊れない。
つまり、x2-y2もpで充り磊れない。

肌に、Tに崔まれる2つの眶-1-x2,-1-y2も票屯の妄统で、pを恕として圭票とならない。

办数、どんな腊眶もpを恕として、0,1,∧,p-1のどれかに圭票である。
篓ち、pを恕とした圭票梧の眶はp改である。
そのため、礁圭SとTを圭わせるとp+1改の傅があるから、票じ圭票梧に掐る傅がSとTにあることになる。

よって、x2⒑S,-1-y2⒑Tで、pを恕として圭票になる猛、篓ち肌を塔たす猛が赂哼する。

$x^2~\equiv~-1-y^2~\,~\pmod{p},~(0~\le~x,y~\le~\frac{p-1}{2})$

∈毋えば、p=7とする。S={0,1,4,9},T={-1,-2,-5,-10}で、SとTの尉数に赂哼する猛は、4⑨-10 (mod 7)と9⑨-5 (mod 7)の2寥ある。

惧淡の及を今き木すと、肌のようになる。

$x^2~+~y^2~+~1^2~+~0^2~\equiv~0~\,~\pmod{p}$

これは焊收がpの擒眶kpに霹しいということを罢蹋する。

さらに、肌の络井簇犯が喇り惟つ。

$x^2~+~y^2~+~1^2~+~0^2~\le~(\frac{p-1}{2})^2~+~\frac{p-1}{2})^2~+~1=\frac{(p-1)^2}{2}~+~1~<~p^2~\,~\pmod{p}$

よって、k°pである。

x1=x,x2=y,x3=1,x4=0が肌の数镍及の豺であることがわかる。

${x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2~=kp$ 　(*)

[1]k=1の眷圭は汤らかに喇り惟つ。

[2]k′1として、kを井さくすることを活みる。

(i)kが饿眶の眷圭

(*)の焊收が饿眶でなければならないから、笆布の3つの眷圭のどれかになる。

(a)x1,x2,x3,x4がすべて饿眶
(b)x1,x2,x3,x4がすべて瘩眶
(c)x1,x2,x3,x4のうちが饿眶で、2つが瘩眶

(c)の眷圭、界戎を努碰にとれば、x1,x2が饿眶、x3,x4が瘩眶としてよい。

そうすれば、すべての眷圭に、 $\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1-x_2}{2},\frac{x_3+x_4}{2},\frac{x_3-x_4}{2}$ が腊眶である。

(*)の尉收を2で充ると、肌のように今ける。

$\frac{{x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2}{2}~=\frac{k}{2}p$
$(\frac{x_1+x_2}{2})^2+(\frac{x_1-x_2}{2})^2+(\frac{x_3+x_4}{2})^2+(\frac{x_3-x_4}{2})^2~=\frac{k}{2}p$

これで、kをk/2に弥き垂えたときの(*)の豺を评る。

(ii)kが瘩眶の眷圭

xiを肌のようなyiで弥き垂える。

$x_i~\equiv~y_i~\,~\pmod{k},~|y_i|~<~\frac{k}{2}$

∈xiをkで充った途りがk/2より井さければそれをyi、络きければそれからkを苞いたものをyiとすればよい∷

そうすると、肌のように鸥倡できる。

${y_1}^2~+~{y_2}^2~+~{y_3}^2~+~{y_4}^2$
$\equiv~{x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2~\,~\pmod{k}$
$\equiv~0~\,~\pmod{k}$ 　∈㈣(*)∷

よって、 $\sum_{i=0}^{4}~{y_i}^2$ はkの擒眶、篓ち肌が喇り惟つ。

${x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2=k'k$ 　(**)

$|y_i|<\frac{k}{2}$ だから、 $\sum_{i=0}^{4}~{y_i}^2~<~k^2$
よって、k'°kである。

オイラ〖の贡霹及をそのまま蝗えば、(*)と(**)から肌が喇り惟つ。

${z_1}^2~+~{z_2}^2~+~{z_3}^2~+~{z_4}^2~=~({x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2)({y_1}^2~+~{y_2}^2~+~{y_3}^2~+~{y_4}^2)=k^2~k'~p$ 　(***)

办数、 $x_i~\equiv~y_i~\,~\pmod{k}$ だから、肌が喇り惟つ。

$z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4~\equiv~{x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2~\equiv~0~\,~\pmod{k}$
$z_2=x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3~\equiv~x_1x_2~-x_2x_1~+~x_3x_4~-~x_4x_3~\equiv~0~~\,~\pmod{k}$
$z_3~=~x_1~y_3~+~x_2~y_4~-~x_3~y_1~+~x_4~y_2~\equiv~x_1~x_3~+~x_2~x_4~-x_3~x_1+x_4x_2~\equiv~0~~\,~\pmod{k}$
$z_4~=~x_1~y_4~+~x_2~y_3~-~x_3~y_2~-~x_4~y_1~\equiv~x_1x_4~+~x_2x_3~-x_3x_2~-~x_4x_1~\equiv~0~~\,~\pmod{k}$