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目次

ディオフォントスの結果

 ディオフォントスの『数論』の第4巻の問題29に、次のような問題がある。これは現代風に直したものである。

[問題]与えられた数nに対して、4つの数x1,x2,x3,x4n~=~\sum_{i=1}^{4}~{x_i}^2~+~\sum_{i=1}^4~x_iとなるものを見付けよ。

[解答]n+1を次のように展開できる。

n+1
=~\sum_{i=1}^{4}~{x_i}^2~+~\sum_{i=1}^4~x_i~+~1
=~\sum_{i=1}^{4}~({x_i}^2~+~x_i~+~\frac{1}{4})
=~\sum_{i=1}^{4}~(x_i~+~\frac{1}{2})^2

一方、n+1を4つの平方数{a_1}^2,~{a_2}^2,~{a_3}^2,~{a_4}^2の和として表し置いて、次のようにおけばよい。

a_i~=~x_i~+~\frac{1}{2}
x_i~=~a_i~-~\frac{1}{2}

ディオフォントスはn=12とした。

n+1=12+1=13=4+9=((\frac{8}{5})^2~+~(\frac{6}{5})^2)~+~((\frac{12}{5})^2~+~(\frac{9}{5})^2)

上記から、13を4つの有理数の2乗の和に表して、以下を得られる。

  • x_1~=~\frac{8}{5}-\frac{1}{2}~=~\frac{11}{10}
  • x_2~=~\frac{6}{5}-\frac{1}{2}~=~\frac{7}{10}
  • x_3~=~\frac{12}{5}-\frac{1}{2}~=~\frac{19}{10}
  • x_4~=~\frac{9}{5}-\frac{1}{2}~=~\frac{13}{10}

なお、上記のように13を4つの有理数の2乗の和に分解する代わりに、13=22+22+22+12と合わせば次の解を得る。

x_1~=~2~-~\frac{1}{2}~=~\frac{3}{2} x_2~=~2~-~\frac{1}{2}~=~\frac{3}{2} x_3~=~2~-~\frac{1}{2}~=~\frac{3}{2} x_4~=~1~-~\frac{1}{2}~=~\frac{1}{2}

[補講]ディオフォントスの『数論』の第5巻の問題14においても、与えられた数を4つの平方数の和として書いている。 ◇

4平方和

[定理]すべての自然数は4つの平方数の和として表される。

  • ディオフォントスはこの定理を当然であるかのごとく書いている。
  • バシェは325までの自然数を4平方和で書き、いかなる自然数でもそのように書けることを予想した。
  • フェルマーはこの予想の証明を得たが、これについては別にきちんと書くつもりだという注釈を残したが、結局その証明は発表されなかった。
  • オイラーはすべての自然数が4つの有理数の2乗の和であることまでは示したが、完全な解答までは至らなかった。
  • ラグランジュはオイラーの結果を土台にして、1772年に完全に証明した。
  • その翌年に、オイラーはより簡単な証明を得た。
    • オイラーがこの問題に初めて手を付けてから25年後のことである。

 平方数に02も入れて数えている。もし、02が平方数としないならば、「4つの平方数」ということろを「高々4つの平方数」と変えなけらばならない。

[証明](オイラー)

オイラーの恒等式が成り立つため、4平方和の積は4平方和になる。
後は、すべての素数が4平方和になることを示せばよい(自然数は素数の積であるため)。

[1]素数2の場合、12+12+02+02と書ける。

[2]奇数の素数の場合

pを奇数の素数として、次の2つの集合を考える。

  • S=~\{~0^2,1^2,2^2,3^2,\cdots,(\frac{p-1}{2})^2~\}
  • T=~\{~-1-0^2,-1-1^2,-1-2^2,-1-3^2,\cdots,-1-(\frac{p-1}{2})^2\}

まず、Sに含まれる2つの数x2とy2が、pを法として合同とならないことを示す。
ここで、x>yとしても一般性は失われない。
つまり、pを法として合同にならないなら、x2-y2=(x+y)(x-y)はpで割り切れないことを示す。

0~\le~y~<~x~<~\frac{p-1}{2}だから、0<x+y,x-y≦p-1である。
よって、x+yもx-yもpでは割り切れない。
つまり、x2-y2もpで割り切れない。

次に、Tに含まれる2つの数-1-x2,-1-y2も同様の理由で、pを法として合同とならない。

一方、どんな整数もpを法として、0,1,…,p-1のどれかに合同である。
即ち、pを法とした合同類の数はp個である。
そのため、集合SとTを合わせるとp+1個の元があるから、同じ合同類に入る元がSとTにあることになる。

よって、x2∈S,-1-y2∈Tで、pを法として合同になる値、即ち次を満たす値が存在する。

x^2~\equiv~-1-y^2~\,~\pmod{p},~(0~\le~x,y~\le~\frac{p-1}{2})

(例えば、p=7とする。S={0,1,4,9},T={-1,-2,-5,-10}で、SとTの両方に存在する値は、4≡-10 (mod 7)と9≡-5 (mod 7)の2組ある。

上記の式を書き直すと、次のようになる。

x^2~+~y^2~+~1^2~+~0^2~\equiv~0~\,~\pmod{p}

これは左辺がpの倍数kpに等しいということを意味する。

さらに、次の大小関係が成り立つ。

x^2~+~y^2~+~1^2~+~0^2~\le~(\frac{p-1}{2})^2~+~\frac{p-1}{2})^2~+~1=\frac{(p-1)^2}{2}~+~1~<~p^2~\,~\pmod{p}

よって、k<pである。

x1=x,x2=y,x3=1,x4=0が次の方程式の解であることがわかる。

{x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2~=kp ←(*)

[1]k=1の場合は明らかに成り立つ。

[2]k>1として、kを小さくすることを試みる。

(i)kが偶数の場合

(*)の左辺が偶数でなければならないから、以下の3つの場合のどれかになる。

  • (a)x1,x2,x3,x4がすべて偶数
  • (b)x1,x2,x3,x4がすべて奇数
  • (c)x1,x2,x3,x4のうちが偶数で、2つが奇数

(c)の場合、順番を適当にとれば、x1,x2が偶数、x3,x4が奇数としてよい。

そうすれば、すべての場合に、\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1-x_2}{2},\frac{x_3+x_4}{2},\frac{x_3-x_4}{2}が整数である。

(*)の両辺を2で割ると、次のように書ける。

\frac{{x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2}{2}~=\frac{k}{2}p
(\frac{x_1+x_2}{2})^2+(\frac{x_1-x_2}{2})^2+(\frac{x_3+x_4}{2})^2+(\frac{x_3-x_4}{2})^2~=\frac{k}{2}p

これで、kをk/2に置き換えたときの(*)の解を得る。

(ii)kが奇数の場合

xiを次のようなyiで置き換える。

x_i~\equiv~y_i~\,~\pmod{k},~|y_i|~<~\frac{k}{2}

(xiをkで割った余りがk/2より小さければそれをyi、大きければそれからkを引いたものをyiとすればよい)

そうすると、次のように展開できる。

{y_1}^2~+~{y_2}^2~+~{y_3}^2~+~{y_4}^2
\equiv~{x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2~\,~\pmod{k}
\equiv~0~\,~\pmod{k} (∵(*))

よって、\sum_{i=0}^{4}~{y_i}^2はkの倍数、即ち次が成り立つ。

{x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2=k'k ←(**)

|y_i|<\frac{k}{2}だから、\sum_{i=0}^{4}~{y_i}^2~<~k^2
よって、k'<kである。

オイラーの恒等式をそのまま使えば、(*)と(**)から次が成り立つ。

{z_1}^2~+~{z_2}^2~+~{z_3}^2~+~{z_4}^2~=~({x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2)({y_1}^2~+~{y_2}^2~+~{y_3}^2~+~{y_4}^2)=k^2~k'~p ←(***)

一方、x_i~\equiv~y_i~\,~\pmod{k}だから、次が成り立つ。

  • z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4~\equiv~{x_1}^2~+~{x_2}^2~+~{x_3}^2~+~{x_4}^2~\equiv~0~\,~\pmod{k}
  • z_2=x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3~\equiv~x_1x_2~-x_2x_1~+~x_3x_4~-~x_4x_3~\equiv~0~~\,~\pmod{k}
  • z_3~=~x_1~y_3~+~x_2~y_4~-~x_3~y_1~+~x_4~y_2~\equiv~x_1~x_3~+~x_2~x_4~-x_3~x_1+x_4x_2~\equiv~0~~\,~\pmod{k}
  • z_4~=~x_1~y_4~+~x_2~y_3~-~x_3~y_2~-~x_4~y_1~\equiv~x_1x_4~+~x_2x_3~-x_3x_2~-~x_4x_1~\equiv~0~~\,~\pmod{k}

よって、z1,z2,z3,z4はすべてkで割り切れる。

そこで、(***)をk2で割ると次が得られる。

(\frac{z_1}{k})^2~+~(\frac{z_2}{k})^2~+~(\frac{z_3}{k})^2~+~(\frac{z_4}{k})^2~=k'p

これで、(*)のkよりも小さいk'に対して、解を得たことになる。

このように、(*)のkを次第に小さくして、1に到達するまで続ければよい。 □

[別証][定理]「いかなる自然数も高々n個のn角数の和として表される」において、n=4を適用する。 □

参考文献

  • 『なっとくするオイラーとフェルマー』