このページをはてなブックマークに追加このページを含むはてなブックマーク このページをlivedoor クリップに追加このページを含むlivedoor クリップ

  • 追加された行はこの色です。
  • 削除された行はこの色です。
#divid(s,thorem)
[定理]&mimetex("n! = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^n");
#divid(e,thorem)

#divid(s,notice)
[補講]この式の左辺は、aに無関係であることに注目。 ◇
#divid(e,notice)

#divid(s,proof)
[証明](数学的帰納法による証明)

[1]nの場合は成り立つと仮定する。

[2]nをn+1で置き換えた結果である次の内容が成り立つことを証明する。

&mimetex("(n+1)! = \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k \left(\begin{matrix}n+1 \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^{n+1}");

(右辺)~
&mimetex("=\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k \left(\begin{matrix}n+1 \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^{n+1}");(∵Σをk=0とk=1〜nとk=n+1のところで分解する)~
&mimetex("=a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\begin{matrix}n+1 \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^{n+1} + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}");~
&mimetex("=a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k (\left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^{n+1} + \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right) (a-k)^{n+1}) + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵&mimetex("\left(\begin{matrix}n+1 \\ k \\\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right)");、ただし、0<k≦n)~
&mimetex("=a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k (\left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) a(a-k)^n - \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) k(a-k)^n + \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right) (a-k)^{n+1}) + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵&mimetex("(a-k)^{n+1} = (a-k)(a-k)^n");)~
&mimetex("=a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k (\left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) a(a-k)^n + (- \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) k + \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right) (a-k))(a-k)^n ) + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}");~
&mimetex("=a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k (\left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) a(a-k)^n + (\frac{-n!}{(n-k)!(k-1)!} + \frac{n!(a-k)}{(n-k+1)!(k-1)!}) (a-k))(a-k)^n ) + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵組み合わせの定義より、&mimetex("_nC_k = \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) = \frac{n!}{k!(n-k)!}");)~
&mimetex("=a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k (\left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) a(a-k)^n - \frac{n!(n+1-a)}{(n-k+1)!(k-1)!} (a-k)^n ) + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵&mimetex("\frac{-n!}{(n-k)!(k-1)!} + \frac{n!(a-k)}{(n-k+1)!(k-1)!}=-\frac{n!}{(k-1)!}(\frac{1}{(n-k)!}-\frac{a-k}{(n-k+1)!})=-\frac{n!}{(k-1)!}(\frac{n-k+1}{(n-k+1)!}-\frac{a-k}{(n-k+1)!}) = -\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}((n-k+1)-(a-k)) = -\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}(n-a+1) = -\frac{n!(n-a+1)}{(n-k+1)!(k-1)!}");)~
&mimetex("=a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k (\left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) a(a-k)^n - (n+1-a) \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right) (a-k)^n ) + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵&mimetex("\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right)");)~
&mimetex("=a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) a(a-k)^n - \sum_{k=1}^{n} (-1)^k (n+1-a) \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right) (a-k)^n  + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵Σの括弧を外す)~
&mimetex("=a^{n+1} + a\sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^n - (n+1-a) \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right) (a-k)^n  + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵Σ内において、kに関係ないところを外出しする)~
&mimetex("=a^{n+1} + a\sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^n + (n+1-a) \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right) (a-k)^n  + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵&mimetex("(-1)\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}");)~
&mimetex("=an! + (n+1-a) \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \left(\begin{matrix}n \\ k-1 \\\end{matrix}\right) (a-k)^n  + (-1)^{n+1}(a-n-1)^{n+1}"); (∵仮定より、&mimetex("a^{n+1} + a\sum_{k=1}^{n} (-1)^k \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^n = a\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k)^n=an!");)~
&mimetex("=an! + (n+1-a) [\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k-1)^n  + (-1)^{n}(a-n-1)^{n}]"); (∵k-1をkとした)~
&mimetex("=an! + (n+1-a) \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \left(\begin{matrix}n \\ k \\\end{matrix}\right) (a-k-1)^n"); (∵仮定において、aをa-1とした結果を使用する)~
&mimetex("=an! + (n+1-a)n!"); (∵仮定より)~
&mimetex("=(n+1)!"); (∵&mimetex("an! + (n+1-a)n!=n!(a-(n+1-1))=n!(n+1)=(n+1)!");)~
=(左辺) □
#divid(e,proof)