【STEP05】加算回路 — 複数の信号を足し算する回路【オペアンプ入門学習キット編】

2026年3月24日

この記事で得られること

• 減算回路が反転増幅回路と非反転増幅回路の「合体」であることを理解できる
• 重ね合わせの理（Superposition）による公式の導出過程を追える
• カラオケのボーカルキャンセルという身近な応用を知ることができる

減算回路とは

減算回路は、2つの入力信号の差を増幅して出力する回路です。

具体的な動作を3つの例で見てみましょう。

• 例A：振幅が異なる同位相の正弦波を入力すると、出力は振幅の差分になる。
• 例B：同一の正弦波（振幅・位相・周波数がすべて同じ）を入力すると、差はゼロなので出力もゼロになる。
• 例C：周波数が同じで位相が180°ずれた正弦波を入力すると、差が最大になり出力の振幅は2倍になる。
• 例D：例Cは減算だが、波形を反転させれば加算したことと同値である。

この「差だけを取り出す」という性質が、減算回路の最大の特徴です。共通する成分（コモンモード信号）を除去し、差分だけを抽出できるため、ノイズキャンセルやセンサー計測に活用されます。

回路の構造：反転と非反転の「合体」

減算回路の回路図を見てみましょう。

• R1：入力1（V1）から(−)端子への入力抵抗
• R2：入力2（V2）から(+)端子への入力抵抗
• R3：(−)端子から出力への帰還抵抗
• R4：(+)端子からGNDへの接地抵抗

STEP04の加算回路は「反転増幅回路の入力を増やしただけ」でした。

一方、減算回路は構造が違います。(−)端子側にR1とR3（反転増幅回路の構成）、(+)端子側にR2とR4（非反転増幅回路の入力分圧回路）が配置されています。

つまり、反転増幅回路と非反転増幅回路を1つのオペアンプで同時に実現したのが減算回路です。この「合体」構造を理解すると、公式の導出が自然に見えてきます。

公式の導出：重ね合わせの理（Superposition）

なぜ重ね合わせの理を使うのか

STEP04の加算回路では、仮想接地点にKCL（キルヒホッフの電流則）を適用して公式を導きました。減算回路でも同じアプローチは可能ですが、(+)端子がGNDではなく分圧回路に接続されているため、計算が複雑になります。

そこで活躍するのが重ね合わせの理（Superposition Principle）です。

重ね合わせの理とは、「線形回路において、複数の独立電源がある場合、各電源を1つずつ有効にし（他をゼロにし）、それぞれの応答を足し合わせると全体の応答が得られる」という原理です。

減算回路には独立電源がV₁とV₂の2つあるので、次のように分解します。

1. Case 1：V₂ = 0（GND）として、V1だけが有効な場合の出力Vo1を求める
2. Case 2：V₁ = 0（GND）として、V2だけが有効な場合の出力Vo2を求める
3. 最終出力：V_o = V_o1 + V_o2

Case 1：V₂ = 0のとき（V₁のみ有効）

V₂をGND（0V）に接続すると、(+)端子側ではR₂がGNDに接続され、R₄もGNDに接続されています。つまり(+)端子は0Vになります。

この状態を見ると、(−)端子側にR₁（入力抵抗）とR₃（帰還抵抗）があり、(+)端子は0Vです。これはまさにSTEP02で学んだ反転増幅回路そのものです。

結果だけ使ってもよいのですが、ここではKVL（キルヒホッフの電圧則）で丁寧に導出します。

仮想短絡により、（−）端子の電圧V_bは（+）端子と同じ0Vです。V₁からR₁を通って流れる電流I₁は次のとおりです。

$$I_1 = \frac{V_1 – V_b}{R_1} = \frac{V_1}{R_1}$$

オペアンプの入力端子には電流が流れ込まないため、この電流I₁はそのまま帰還抵抗R₃を通って出力側へ流れます。ここで点bから出力に向かう経路にKVLを適用します。

$$V_{o1} = V_b – I_1 \times R_3$$

この式が成り立つ理由を確認しておきましょう。点bの電位はV_bです。そこから帰還抵抗R₃を通って出力に向かう方向に電流I₁が流れると、R₃の両端でI₁ × R₃の電圧降下が発生します。出力電圧V_o1は、点bの電位V_bからその電圧降下分を引いた値になります。これはオームの法則とKVLそのものです。

V_b = 0を代入すると

$$V_{o1} = 0 – \frac{V_1}{R_1} \times R_3 = -\frac{R_3}{R_1} \times V_1 \quad \cdots \text{式5-1}$$

Case 2：V₁ = 0のとき（V₂のみ有効）

V1をGND（0V）に接続すると、(−)端子側ではR1がGNDに接続されます。R3は帰還抵抗としてそのまま残ります。

V2はR2とR4の分圧回路を通って(+)端子に入力されます。(+)端子の電圧V(+)は次のとおりです。

$$V_{(+)} = \frac{R_4}{R_2 + R_4} \times V_2 \quad \cdots \text{式5-2}$$

このV(+)が入力される回路を見ると、(−)端子側にR1（GNDへ）とR3（帰還抵抗）がある非反転増幅回路です。STEP03で学んだとおり、非反転増幅回路のゲインは(1 + R3/R1)です。

$$V_{o2} = \left(1 + \frac{R_3}{R_1}\right) \times V_{(+)} = \left(1 + \frac{R_3}{R_1}\right) \times \frac{R_4}{R_2 + R_4} \times V_2 \quad \cdots \text{式5-3}$$

全体の出力：V_o = V_o1 + V_o2

重ね合わせの理により、2つのケースを足し合わせます。

$$V_o = V_{o1} + V_{o2} = -\frac{R_3}{R_1} V_1 + \left(1 + \frac{R_3}{R_1}\right) \frac{R_4}{R_2 + R_4} V_2 \quad \cdots \text{式5-4}$$

式5-3の括弧を展開して整理します。

$$1 + \frac{R_3}{R_1} = \frac{R_1 + R_3}{R_1} \quad \cdots \text{式5-5}$$

式5-5を式5-4に代入すると以下のようになります。

$$V_o = -\frac{R_3}{R_1} V_1 + \frac{R_1 + R_3}{R_1} \times \frac{R_4}{R_2 + R_4} V_2 \quad \cdots \text{式5-6}$$

これが減算回路の一般式です。

特殊条件：R₁ = R₂、R₃ = R₄ のとき

R1 = R2、R3 = R4とすると、式5-6のV2の係数が劇的に簡略化されます。

$$\frac{R_1 + R_3}{R_1} \times \frac{R_4}{R_2 + R_4} = \frac{R_1 + R_3}{R_1} \times \frac{R_3}{R_1 + R_3} = \frac{R_3}{R_1} \quad \cdots \text{式5-7}$$

分子のR₁ + R₃が約分されて消えるのが美しいポイントです。

結果として以下のようになります。

$$\boxed{V_o = \frac{R_3}{R_1}(V_2 – V_1)} \quad \cdots \text{式5-8}$$

まさにV₂とV₁の差にゲインR3/R1を掛けた値が出力されます。これが減算回路の名前の由来です。

ゲインの設定

式5-8から、ゲイン（増幅率）Gは次のとおりです。

$$G = \frac{R_3}{R_1}$$

• R₃ > R₁のとき：G > 1（差を増幅して出力）
• R₃ = R₁のとき：G = 1（差をそのまま出力。単位利得の減算器）
• R₃ < R₁のとき：G < 1（差を減衰して出力）

さらにすべての抵抗を同じ値にすると（R₁ = R₃ = R₂ = R₄）

$$V_o = V_2 – V_1$$

純粋な引き算になります。

加算回路との比較：「足し算 vs 引き算」だけではない

STEP04の加算回路と今回の減算回路を比較してみましょう。

項目	加算回路（STEP04）	減算回路（STEP05）
入力端子	(−)のみ	(−)と(+)の両方
演算	V1 + V2（重み付き）	V2 − V1（重み付き）
基になる回路	反転増幅回路のみ	反転 + 非反転の合体
導出手法	KCL（キルヒホッフの電流則）	重ね合わせの理
(+)端子	GND固定	分圧回路に接続
出力の位相	反転	V2 − V1の符号に依存
拡張性	入力を何本でも追加可能	2入力が基本

加算回路は(−)端子だけを使い、(+)端子はGNDに固定していました。一方、減算回路は(+)端子も(−)端子も積極的に使います。オペアンプの2つの入力端子をフルに活用する回路だと言えます。

導出手法が異なるのも面白い点です。加算回路ではKCLだけで足りましたが、減算回路ではKCLに加えて重ね合わせの理が必要になりました。2つの入力端子が異なる役割を持つため、分解して考える必要があったわけです。

CMRR：コモンモード除去比

減算回路の重要な性能指標にCMRR（Common Mode Rejection Ratio：コモンモード除去比）があります。

理想的な減算回路は、2つの入力に共通する成分（コモンモード信号）を完全に除去し、差分だけを出力します。しかし現実には、抵抗値の誤差によって共通成分が完全には除去されません。

たとえば、R₁ = R₂ = 10kΩ、R₃ = R₄ = 22kΩを狙って部品を選んでも、実際の抵抗値には±1%〜±5%の誤差があります。この誤差がR₁/R₃とR₂/R₄の比をわずかにずらし、コモンモード信号が出力に漏れてきます。

CMRRは「差動利得÷コモンモード利得」で定義され、値が大きいほど優秀です。CMRRを高めるためには、抵抗の精度を上げる（許容差の小さい金属皮膜抵抗を使うなど）ことが重要です。

高精度が求められる用途では、この1段の減算回路ではなく計装アンプ（Instrumentation Amplifier）という3つのオペアンプを使った構成が用いられます。計装アンプはCMRRが非常に高く、センサー信号の増幅などに広く使われています。

減算回路の応用：カラオケのボーカルキャンセル

減算回路の身近な応用として、カラオケのボーカルキャンセルがあります。

なぜボーカルが消えるのか

通常のステレオ録音では、ボーカルは左右のチャンネルに同じ音量・同じ位相で収録されています。これを「センター定位」と呼びます。

一方、楽器はパンニング（左右への振り分け）によって、左右チャンネルで異なる成分を持っています。

ここで左チャンネル（L）と右チャンネル（R）の差を取ると、以下のように計算できます。

$$L – R = (\text{BGM}_L + \text{Vocal}) – (\text{BGM}_R + \text{Vocal}) = \text{BGM}_L – \text{BGM}_R$$

ボーカルは左右で同じなので打ち消し合い、楽器のパンニング成分だけが残ります。

これがカラオケの基本原理です。

完全ではない理由

もちろん、この方法は万能ではありません。

• センター定位の楽器（ベース、キックドラムなど）も一緒に消えてしまう。
• ステレオリバーブがかかったボーカルは、左右で微妙に異なるため完全には消えない。
• モノラル録音には原理的に使えない。

それでも、たった4本の抵抗と1個のオペアンプで実現できるという手軽さは驚きです。デジタル信号処理が普及した現在でも、アナログ減算回路によるボーカルキャンセルの原理は、DSPアルゴリズムの基礎として生きています。

イヤホンのノイズキャンセルとの違い

「ノイズキャンセル」と聞くと、ノイズキャンセリングイヤホンを思い浮かべるかもしれません。イヤホンのANC（Active Noise Cancelling）は外部マイクで拾った騒音の逆位相信号を生成して加算する仕組みです。つまり加算回路（STEP04）の応用です。

一方、カラオケのボーカルキャンセルは2つの信号の差を取る仕組みで、減算回路（STEP05）の応用です。

「ノイズを消す」という目的は同じでも、アプローチがまったく異なります。

方式	原理	使う回路
ANCイヤホン	騒音の逆位相を加算	加算回路（STEP04）
カラオケ	L/Rチャンネルの差分	減算回路（STEP05）

実験：減算回路を組んで確認する

実験条件

パラメーター	値
R1 = R2	10kΩ
R3 = R4	22kΩ
入力信号	正弦波（キット内蔵の発振器）
V1	2.5Vpp
V2	2.5Vpp

理論上の出力を予測する

すべての抵抗が同じ値ではありません（R₁ ≠ R₃）が、R₁ = R₂かつR₃ = R₄という条件を満たしています。式5-8が使えます。

$$V_o = \frac{R_3}{R_1}(V_2 – V_1) = \frac{22k}{10k}(V_2 – V_1) = 2.2(V_2 – V_1)$$

一般式（式5-6）で確認すると以下のように展開できます。

$$V_o = -\frac{R_3}{R_1} V_1 + \frac{R_1 + R_3}{R_1} \times \frac{R_4}{R_2 + R_4} V_2$$

$$= -\frac{22k}{10k} V_1 + \frac{10k + 22k}{10k} \times \frac{22k}{10k + 22k} V_2$$

$$= -2.2 V_1 + 3.2 \times \frac{22}{32} V_2 = -2.2 V_1 + 2.2 V_2 = 2.2(V_2 – V_1)$$

ゲインは2.2です。同じ信号を2つの入力に接続すると、V₁ = V₂なのでV_o = 2.2 × 0 = 0Vになるはずです。異なる信号を入力すれば、その差分に2.2倍のゲインがかかった出力が得られます。

確認すべきポイント

• [ ] 回路を組めたか
• [ ] 同じ信号を入力したとき、出力がゼロに近づくか
• [ ] 異なる信号を入力したとき、差分が出力されるか

実験結果

教材のオシロスコープ画面では、2つの入力波形とその差分である出力波形が確認できました。

練習問題

問1：交流入力信号の場合

条件：R₁ = R₂ = 10kΩ、R₃ = R₄ = 33kΩ

V₁ = −3Vpp、V₂ = −1Vppを入力したとき、出力電圧はいくらになるでしょうか。

解答

R₁ = R₂、R₃ = R₄の条件を満たしているので、式5-8が使えます。

$$V_o = \frac{R_3}{R_1}(V_2 – V_1) = \frac{33k}{10k}(V_2 – V_1) = 3.3(V_2 – V_1)$$

$$V_o = 3.3 \times ^[1]-1) – (-3 = 3.3 \times 2 = 6.6\text{Vpp}$$

答えは6.6Vppです。

注意点として、VppはPeak-to-Peak（正の振幅の絶対値）を表します。ここではV₁、V₂にマイナスがついていますが、これは位相の情報（反転位相で入力）を示しています。ゲインR₃/R₁ = 3.3がかかるため、単純な差（2Vpp）の3.3倍が出力されます。

問2：直流入力信号の場合

条件：R₁ = R₂ = 10kΩ、R₃ = R₄ = 33kΩ

V₁ = −1Vdc、V₂ = 2Vdcを入力したとき、出力電圧はいくらになるでしょうか。

解答

同じくR₁ = R₂、R₃ = R₄の条件なので、式5-8を使います。

$$V_o = 3.3 \times (V_2 – V_1) = 3.3 \times (2 – (-1)) = 3.3 \times 3 = 9.9\text{Vdc}$$

答えは9.9Vdcです。

この問題は、減算回路が符号付きの引き算を正しく計算できることを示しています。

負の値を引くと加算になるという、中学数学の原則がそのまま電子回路で実現されています。

さらにゲイン3.3倍がかかるため、差の絶対値よりも大きな出力が得られます。

まとめ

項目	内容
回路の本質	反転増幅回路 + 非反転増幅回路の合体
出力電圧（一般式）	Vo = −(R3/R1)V1 + (1+R3/R1) x R4/(R2+R4) x V2
出力電圧（R1=R2, R3=R4）	Vo = (R3/R1)(V2 − V1)
ゲインの決定要素	R3/R1の比
位相	V2 − V1の符号に依存
導出手法	重ね合わせの理（Superposition）
重要な性能指標	CMRR（コモンモード除去比）

これまでの回路の比較

項目	反転増幅（STEP02）	非反転増幅（STEP03）	加算（STEP04）	減算（STEP05）
入力数	1	1	2以上	2
使用端子	(−)のみ	(+)のみ	(−)のみ	(−)と(+)
出力	−(R3/R1)Vi	(1+R3/R1)Vi	−Σ(Rf/Rn)Vin	(R3/R1)(V2−V1)
位相	反転	同相	反転	差の符号次第
導出手法	KCL	仮想短絡+分圧	KCL	重ね合わせの理

身の回りで使われている例

機器	使い方	解説
カラオケ装置	L/Rチャンネルの差分でボーカル除去	センター定位の成分を打ち消す
差動信号伝送	ノイズ除去	RS-485やUSBで使われる差動ペアの受信側で差分を取り、共通ノイズを除去する
ブリッジ回路の計測	センサー値の読み取り	ホイートストンブリッジの不平衡電圧を減算回路で増幅する
心電計（ECG）	体表の2点間の電位差を計測	皮膚に貼った電極の電位差を減算回路（計装アンプ）で取り出す
電流センス	シャント抵抗の両端電圧差の増幅	微小な電圧差を減算回路で増幅して電流値を算出する

ハッキング・セキュリティで使われている例

用途	使い方	解説
電磁波盗聴（TEMPEST）対策	差動信号によるノイズ除去	配線をツイストペア化し、減算回路で共通モードの電磁波漏洩を抑制する。攻撃者が電磁波を傍受しても有意な信号を復元しにくくなる
サイドチャネル解析	差分電力解析（DPA）	暗号処理中の電力波形を大量収集し、統計的に差分を取ることで秘密鍵を推定する。「差分を取る」操作は減算回路の原理そのもの
タンパー検出	基準電圧との差分監視	ICの電源電圧やクロック周波数を基準値と比較し、差が閾値を超えたら攻撃（グリッチ攻撃など）を検知してリセットする
EMI防御	差動伝送によるノイズ耐性向上	セキュリティ機器の通信路を差動ペアにし、外部からの電磁的妨害（EMI攻撃）に対する耐性を高める

差動信号とCMRRの概念はセキュリティにも深く関わっています。攻撃者が電磁波を注入しても、差動受信回路のCMRRが高ければ共通モードのノイズとして除去されます。物理セキュリティの防御ラインにオペアンプの減算回路が組み込まれていると考えると、STEP05で学んだ内容の射程の広さが見えてきます。